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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
a ˜
M − a ˜
G et que la famille (β i,A ˜
M
) i=1,...,n engendre R J . L’assertion (5) montre que
la condition pour s équivaut à la condition pour t, où t est l’image de s par la
projection naturelle. Cela prouve (6).
Posons ˆ
Z = Z( ˆ
G) ∩ ˆ
T
Γ R , ˆ
θ,0 . Soit s ∈ Z, notons t son image dans Z J . Le
groupe ˆ
Z est d’indice fini dans Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R , ˆ
θ comme dans Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R , ˆ
θ . On
pose
[Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R , ˆ
θ ] = [Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R , ˆ
θ : ˆ
Z][Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R , ˆ
θ : ˆ
Z]
−1 .
Montrons que
(7) on a l’égalité
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J ))
Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R , ˆ
θ
=
Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)).
On a un diagramme commutatif
Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
A
→
Z( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ
B ↓
C ↓
Z( ˆ
M
)
Γ R / ˆ
Z
D
→ Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R
E ↓
Z( ˆ
M
)
Γ R /Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R .
Toutes les flèches sont surjectives et de noyaux finis. On en déduit les égalités
| ker(A)|| ker(C)| = | ker(B)|| ker(D)| = | ker(EB)|| ker(E)|
−1
| ker(D)|.
Par définition, on a
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) = | ker(C)|
−1 ,
[Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R , ˆ
θ ] = | ker(D)|| ker(E)|
−1 ,
[Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ : Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ ] = | ker(A)|,
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)) = | ker(EB)|
−1 .
L’assertion (7) s’en déduit.
Pour s ∈ Z, resp. t ∈ Z J , notons J s , resp. J t , l’unique élément de J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B),
resp. de J
˜
G
J (t ˆ
θJ )
˜
M
(B J ), qui s’envoie sur J.
Lemme. Soit s ∈ Z, notons t son image dans Z J . On a l’égalité
Z( ˆ
G
J (t ˆ
θ J ))
Γ R : Z( ˆ
G
(s ˆ
θ))
Γ R
transfert
σ
G
(s ˆ
θ)
Js
(δ, ξ(a))
= transfert
σ
G
J (t ˆ
θJ )
Jt
(δ, ξ(a))
.