V.5. Extension des définitions, cas général
551
R J revient à dire que α A ˜
M
∈ R J . On voit alors que le système Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B) est
formé des α res pour α ∈ Σ
G (T ) tel que α A ˜
M
∈ R J et tel que l’une des conditions
suivantes soit vérifiée
(e) α de type 1, N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(f) α de type 2, N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = ±1 ;
(g) α de type 3, N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1.
L’ensemble Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
) se décrit par des conditions analogues à (a), (b),
(c
), (d
). Le système Σ
G (T ) doit être remplacé par Σ
GJ (T ), c’est-à-dire le sousensemble des α ∈ Σ
G (T ) tels que α A ˜
M
∈ R J . Les types 1, 2 et 3 sont relatifs à ce
système et, pour les distinguer des précédents, on note ces types 1 J , 2 J et 3 J . Le
terme s ne change pas. Par contre, l’écriture η = νe est remplacée par η = ν J e J ,
avec ν J ∈ T et e J ∈ Z( ˜
G J , E J ). On a ν J = νt
−1
J , où t J vérifie 5.4(1). Le calcul se
poursuit et on obtient que Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ) est formé des α res pour α ∈ Σ
G (T )
tel que α A ˜
M
∈ R J et tel que l’une des conditions suivantes soit vérifiée
(e) J α de type 1 J , N α(t
−1
J ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(f) J α de type 2 J , N α(t
−1
J ν) = 1 et N ˆ
α(s) = ±1 ;
(g) J α de type 3 J , N α(t
−1
J ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1.
Soit α ∈ Σ
G (T ) tel que α A ˜
M
∈ R J . Supposons d’abord que son type soit
le même dans Σ
G (T ) et dans Σ
GJ (T ). D’après 5.4(1), on a N α(t J ) = 1. Les
conditions (e), (f) , (g) sont alors respectivement équivalentes à (e) J , (f ) J , (g) J .
Supposons maintenant que le type de α change. On a vu qu’alors α est de type (3)
et de type (1) J . D’après 5.4(1), on a N α(t J ) = −1. Mais alors, les conditions (g)
et (e) J (qui sont les seules pouvant concerner α) sont équivalentes. Cela prouve
l’égalité (5).
Notons Z l’ensemble des s ∈ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ tels que i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)) =
0 (c’est-à-dire que G
(s ˆ
θ) est elliptique) et qu’il existe J
∈ J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B) tel que
J
→ J. Notons Z J l’ensemble des t ∈ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ tels que
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) = 0
et qu’il existe J
∈ J
˜
G
J (s ˆ
θJ )
˜
M
(B J ) tel que J
→ J. Montrons que
(6) Z est l’image réciproque de Z J par la projection naturelle
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ .
L’assertion (4) montre que, dans la définition de Z, la condition que G
(s ˆ
θ)
est elliptique est superflue : elle est entraînée par l’existence de J
. La condition
s ∈ Z équivaut donc à ce qu’il existe β 1 , . . . , β n ∈ Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B), de sorte
n = a ˜
M − a ˜
G et que la famille (β i,A ˜
M
) i=1,...,n engendre R J . De même, la condition
t ∈ Z J équivaut à ce qu’il existe β 1 , . . . , β n ∈ Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ), de sorte n =
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R J revient à dire que α A ˜
M
∈ R J . On voit alors que le système Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B) est
formé des α res pour α ∈ Σ
G (T ) tel que α A ˜
M
∈ R J et tel que l’une des conditions
suivantes soit vérifiée
(e) α de type 1, N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(f) α de type 2, N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = ±1 ;
(g) α de type 3, N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1.
L’ensemble Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
) se décrit par des conditions analogues à (a), (b),
(c
), (d
). Le système Σ
G (T ) doit être remplacé par Σ
GJ (T ), c’est-à-dire le sousensemble des α ∈ Σ
G (T ) tels que α A ˜
M
∈ R J . Les types 1, 2 et 3 sont relatifs à ce
système et, pour les distinguer des précédents, on note ces types 1 J , 2 J et 3 J . Le
terme s ne change pas. Par contre, l’écriture η = νe est remplacée par η = ν J e J ,
avec ν J ∈ T et e J ∈ Z( ˜
G J , E J ). On a ν J = νt
−1
J , où t J vérifie 5.4(1). Le calcul se
poursuit et on obtient que Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ) est formé des α res pour α ∈ Σ
G (T )
tel que α A ˜
M
∈ R J et tel que l’une des conditions suivantes soit vérifiée
(e) J α de type 1 J , N α(t
−1
J ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ;
(f) J α de type 2 J , N α(t
−1
J ν) = 1 et N ˆ
α(s) = ±1 ;
(g) J α de type 3 J , N α(t
−1
J ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1.
Soit α ∈ Σ
G (T ) tel que α A ˜
M
∈ R J . Supposons d’abord que son type soit
le même dans Σ
G (T ) et dans Σ
GJ (T ). D’après 5.4(1), on a N α(t J ) = 1. Les
conditions (e), (f) , (g) sont alors respectivement équivalentes à (e) J , (f ) J , (g) J .
Supposons maintenant que le type de α change. On a vu qu’alors α est de type (3)
et de type (1) J . D’après 5.4(1), on a N α(t J ) = −1. Mais alors, les conditions (g)
et (e) J (qui sont les seules pouvant concerner α) sont équivalentes. Cela prouve
l’égalité (5).
Notons Z l’ensemble des s ∈ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ tels que i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ)) =
0 (c’est-à-dire que G
(s ˆ
θ) est elliptique) et qu’il existe J
∈ J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B) tel que
J
→ J. Notons Z J l’ensemble des t ∈ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ tels que
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J )) = 0
et qu’il existe J
∈ J
˜
G
J (s ˆ
θJ )
˜
M
(B J ) tel que J
→ J. Montrons que
(6) Z est l’image réciproque de Z J par la projection naturelle
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ .
L’assertion (4) montre que, dans la définition de Z, la condition que G
(s ˆ
θ)
est elliptique est superflue : elle est entraînée par l’existence de J
. La condition
s ∈ Z équivaut donc à ce qu’il existe β 1 , . . . , β n ∈ Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B), de sorte
n = a ˜
M − a ˜
G et que la famille (β i,A ˜
M
) i=1,...,n engendre R J . De même, la condition
t ∈ Z J équivaut à ce qu’il existe β 1 , . . . , β n ∈ Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ), de sorte n =