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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
indépendantes. A fortiori, a ˜
M − a ˜
G = n ≤ a M
− a G (s ˆ
θ) . Par l’hypothèse (1) et
l’ellipticité de M
, on a a M
= a ˜
M , d’où a G (s ˆ
θ) ≤ a ˜
G . Cette inégalité est forcément
une égalité, donc G
(s ˆ
θ) est elliptique.
Supposons qu’il existe J
∈ J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B) tel que J
→ J. Soit J s l’unique
élément qui s’envoie sur J, introduisons le groupe G
(s ˆ
θ) ,Js comme en [II] 3.3. Il
est défini de sorte que l’on ait l’égalité Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
) = Σ
G
(s ˆ
θ),J s (T
).
Notons t l’image de s par l’application naturelle
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
→ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G J )
Γ R , ˆ
θ .
Par analogie avec ce qui précède, on définit les ensembles
Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
) et Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ).
Montrons que
(5) on a l’égalité Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B) = Σ
G
J (t ˆ
θJ ) (T
, B J ).
On doit une fois de plus rappeler la description du système de racines Σ
G
(s ˆ
θ) (T
)
ainsi que la description de la fonction B. On écrit η = νe, avec ν ∈ T et e ∈
Z( ˜
G, E). D’après [79] 3.3 et [II] 1.11, le système de racines est la réunion des
ensembles suivants
(a) les N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 1 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ; on a
B(N α) = n α ;
(b) les 2N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = 1 ; on a
B(2N α) = 2n α ;
(c) les 2N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 2 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ; on
a B(2N α) = n α ;
(d) les N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 3 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1 ; on a
B(N α) = 2n α .
Evidemment, les α parcourent ici les orbites dans Σ
G (T ) pour l’action du
groupe d’automorphismes engendré par θ. Rappelons qu’à tout α 2 de type 2 est
associé une racine α 3 = α 2 + θ
nα 2 /2 (α 2 ) de type 3. On a N α 2 = N α 3 , N ˆ
α 2 = N ˆ
α 3
mais n α2 = 2n α3 . Cette correspondance se quotiente en une bijection entre orbites
de type 2 et orbites de type (3). Ainsi, les cas (c) et (d) peuvent être remplacés par
(c
) les 2N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 3 tels que N α(ν) = −1 et N ˆ
α(s) = 1 ; on
a B(2N α) = 2n α ;
(d
) les N α pour α ∈ Σ
G (T ) de type 2 tels que N α(ν) = 1 et N ˆ
α(s) = −1 ; on a
B(N α) = n α .
Pour tout α ∈ Σ
G (T ), notons α res sa restriction à t
θ . Pour β = N α, l’élément
n
−1
α β coïncide avec α res comme forme linéaire sur t
θ . De même, pour β = 2N α,
l’élément (2n α )
−1 β coïncide avec α res . Dire que la restriction à a ˜
M appartient à