V.5. Extension des définitions, cas général
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Les restrictions à ˆ
T de ˆ
θ, ˆ
θ J et ˆ
θ
M coïncident. Pour simplifier, nous noterons ˆ
θ
cette restriction.
V.5.5 Preuve de la proposition 5.2, deuxième cas
On conserve les notations de 5.3, on suppose maintenant
(1)
A M
= A M .
Rappelons que M
= (M
, M
, ˜
ζ). On peut supposer ˜
ζ = ζ ˆ
θ
M , avec ζ ∈ ˆ
T . Soient
J ∈ J
˜
G
˜
M
et a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1. Par définition
(2)
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s ˆ
θ))
J ∈J
˜
G (s ˆ
θ)
˜
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s ˆ
θ)
J
(δ, ξ(a))),
(3)
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a) =
t∈ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
GJ )
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G J , ˜
G
J (t ˆ
θ J ))
J ∈J
˜
G
J
(t ˆ
θ J )
˜
M
(BJ );J →J
transfert(σ
G
J (t ˆ
θJ )
J
(δ, a)).
Pour simplifier, on a noté uniformément B les fonctions B
˜
G
O qui interviennent
dans la première somme et B J les analogues de la deuxième somme. Rappelons
que les sommes en J
sont vides ou réduites à un seul élément.
Soit s ∈ ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ . Introduisons le système de racines Σ
G
(s ˆ
θ) (T
)
de G
(s ˆ
θ) relativement au tore T
. Comme en [II] 1.8, on note Σ
G
(s ˆ
θ) (T
, B)
l’ensemble des B(β)
−1 β pour β ∈ Σ
G
(s ˆ
θ) (T
). Un élément β de Σ
G
(s ˆ
θ) (T
)
ou de Σ
G
(s ˆ
θ) (T
, B) peut s’identifier à un élément de t
θ,∗ via l’isomorphisme
ξ : t
θ
→ t
. Notons Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B) le sous-ensemble des β ∈ Σ
G
(s ˆ
θ) (T
, B)
tels que β A ˜
M
∈ R J . Notons Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
) le sous-ensemble des β ∈ Σ
G
(s ˆ
θ) (T
)
tels que B(β)
−1 β ∈ Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B). Par définition, il existe J
∈ J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B)
tel que J
→ J si et seulement s’il existe β 1 , . . . , β n ∈ Σ
G
(s ˆ
θ),J (T
, B), de sorte
n = a ˜
M − a ˜
G et que la famille (β i,A ˜
M
) i=1,...,n engendre R J . Cette description
entraîne
(4) supposons qu’il existe J
∈ J
˜
G
(s ˆ
θ)
˜
M
(B) tel que J
→ J ; alors G
(s ˆ
θ) est
elliptique.
En effet, pour une famille (β i ) i=1,...,n comme ci-dessus, la famille (β i,A ˜
M
) i=1,...,n
est linéairement indépendante, donc les restrictions à a M
des β i sont linéairement