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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(1) pour α ∈ Σ
GJ (T ), on a (N α)(t J ) = 1 si α ∈ Σ
GJ
irr (T ) et (N α)(t J ) = −1 si
α ∈ Σ
GJ
irr (T ).
Preuve. Notons θ = ad e et θ J = ad eJ . Ce sont des automorphismes respectivement de G et G J . Il s’en déduit des automorphismes de Σ
G (T ) et Σ
GJ (T ). L’automorphisme θ J de Σ
GJ (T ) est la restriction de l’automorphisme θ de Σ
G (T ).
Soit α ∈ Σ
GJ (T ), notons comme toujours n α le plus petit entier n ≥ 1 tel que
θ
n (α) = α (ou θ
n
J (α) = α, c’est pareil). Soit u α l’espace radiciel associé à α. On
sait que θ
nα agit sur u α par 1 si α, vu comme élément de Σ
G (T ), est de type 1
ou 2, et qu’il agit par −1 si α est de type 3 (cf. [KS] 1.3). Une propriété analogue
vaut pour θ
nα
J . On en déduit que θ
nα
J
coïncide avec θ
nα sur u α si α ∈ Σ
GJ
irr (T ),
tandis que θ
nα
J coïncide avec −θ
nα sur u α si α ∈ Σ
GJ
irr (T ). Or, par construction,
θ
nα
J coïncide avec (N α)(t J )θ
nα sur u α . L’assertion (1) s’ensuit.
Passons maintenant aux groupes duaux. On fixe une paire de Borel épinglée
ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) α∈Δ ) de ˆ
G. Rappelons qu’il y a une bijection α → ˆ
α entre Σ
G (T )
et Σ
ˆ
G ( ˆ
T ). On identifie ˆ
M au Levi standard associé au sous-ensemble Δ
M de Δ. On
peut identifier ˆ
G J au sous-groupe de ˆ
G engendré par ˆ
T et les sous-espaces radiciels
associés aux ˆ
α pour α ∈ Σ
GJ (T ). On pose ˆ
B J = ˆ
G J ∩ ˆ
B et on complète ( ˆ
B J , ˆ
T )
en une paire de Borel épinglée ˆ
E J = ( ˆ
B J , ˆ
T , ( ˆ
E J, ˆ
α ) α∈ΔJ ) de sorte que ˆ
E J, ˆ
α = ˆ
E ˆ
α
si α ∈ Δ
M . On note ˆ
θ l’automorphisme de ˆ
G associé à θ qui conserve ˆ
E et σ → σ G
l’action galoisienne qui conserve ˆ
E. On définit de façon similaire l’automorphisme
ˆ
θ J et l’action galoisienne σ → σ GJ . L’automorphisme ˆ
θ J n’est pas en général la
restriction de ˆ
θ à ˆ
G J car cette restriction n’a pas de raison de respecter l’épinglage
de ce groupe. Mais il existe s J ∈ ˆ
T tel que ˆ
θ J soit la restriction de ad sJ ◦ ˆ
θ. L’égalité
ˆ
E J, ˆ
α = ˆ
E ˆ
α si α ∈ Δ
M entraîne que s J ∈ Z( ˆ
M ). Comme ci-dessus
(2) pour α ∈ Σ
GJ (T ), on a (N ˆ
α)(s J ) = 1 si α ∈ Σ
GJ
irr (T ) et (N ˆ
α)(s J ) = −1 si
α ∈ Σ
GJ
irr (T ).
De même l’action galoisienne σ → σ GJ n’est pas en général la restriction de
σ → σ G . Prolongeons ces actions galoisiennes en des actions de W R . La preuve de
[II] 1.10(10) montre qu’il existe un cocycle χ : W R → Z( ˆ
M ) de sorte que w GJ soit
la restriction de ad χ(w) ◦w G pour tout w ∈ W R .
Introduisons les espaces tordus ( ˆ
G W R ) ˆ
θ, ( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J et ( ˆ
M W R ) ˆ
θ
M ,
où ˆ
θ
M est la restriction commune de ˆ
θ et ˆ
θ J à ˆ
M . Il n’y a pas en général de
plongement d’espaces tordus
( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J → ( ˆ
G W R ) ˆ
θ.
On a toutefois deux plongements
( ˆ
G W R ) ˆ
θ
( ˆ
M W R ) ˆ
θ
M
( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J .
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(1) pour α ∈ Σ
GJ (T ), on a (N α)(t J ) = 1 si α ∈ Σ
GJ
irr (T ) et (N α)(t J ) = −1 si
α ∈ Σ
GJ
irr (T ).
Preuve. Notons θ = ad e et θ J = ad eJ . Ce sont des automorphismes respectivement de G et G J . Il s’en déduit des automorphismes de Σ
G (T ) et Σ
GJ (T ). L’automorphisme θ J de Σ
GJ (T ) est la restriction de l’automorphisme θ de Σ
G (T ).
Soit α ∈ Σ
GJ (T ), notons comme toujours n α le plus petit entier n ≥ 1 tel que
θ
n (α) = α (ou θ
n
J (α) = α, c’est pareil). Soit u α l’espace radiciel associé à α. On
sait que θ
nα agit sur u α par 1 si α, vu comme élément de Σ
G (T ), est de type 1
ou 2, et qu’il agit par −1 si α est de type 3 (cf. [KS] 1.3). Une propriété analogue
vaut pour θ
nα
J . On en déduit que θ
nα
J
coïncide avec θ
nα sur u α si α ∈ Σ
GJ
irr (T ),
tandis que θ
nα
J coïncide avec −θ
nα sur u α si α ∈ Σ
GJ
irr (T ). Or, par construction,
θ
nα
J coïncide avec (N α)(t J )θ
nα sur u α . L’assertion (1) s’ensuit.
Passons maintenant aux groupes duaux. On fixe une paire de Borel épinglée
ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) α∈Δ ) de ˆ
G. Rappelons qu’il y a une bijection α → ˆ
α entre Σ
G (T )
et Σ
ˆ
G ( ˆ
T ). On identifie ˆ
M au Levi standard associé au sous-ensemble Δ
M de Δ. On
peut identifier ˆ
G J au sous-groupe de ˆ
G engendré par ˆ
T et les sous-espaces radiciels
associés aux ˆ
α pour α ∈ Σ
GJ (T ). On pose ˆ
B J = ˆ
G J ∩ ˆ
B et on complète ( ˆ
B J , ˆ
T )
en une paire de Borel épinglée ˆ
E J = ( ˆ
B J , ˆ
T , ( ˆ
E J, ˆ
α ) α∈ΔJ ) de sorte que ˆ
E J, ˆ
α = ˆ
E ˆ
α
si α ∈ Δ
M . On note ˆ
θ l’automorphisme de ˆ
G associé à θ qui conserve ˆ
E et σ → σ G
l’action galoisienne qui conserve ˆ
E. On définit de façon similaire l’automorphisme
ˆ
θ J et l’action galoisienne σ → σ GJ . L’automorphisme ˆ
θ J n’est pas en général la
restriction de ˆ
θ à ˆ
G J car cette restriction n’a pas de raison de respecter l’épinglage
de ce groupe. Mais il existe s J ∈ ˆ
T tel que ˆ
θ J soit la restriction de ad sJ ◦ ˆ
θ. L’égalité
ˆ
E J, ˆ
α = ˆ
E ˆ
α si α ∈ Δ
M entraîne que s J ∈ Z( ˆ
M ). Comme ci-dessus
(2) pour α ∈ Σ
GJ (T ), on a (N ˆ
α)(s J ) = 1 si α ∈ Σ
GJ
irr (T ) et (N ˆ
α)(s J ) = −1 si
α ∈ Σ
GJ
irr (T ).
De même l’action galoisienne σ → σ GJ n’est pas en général la restriction de
σ → σ G . Prolongeons ces actions galoisiennes en des actions de W R . La preuve de
[II] 1.10(10) montre qu’il existe un cocycle χ : W R → Z( ˆ
M ) de sorte que w GJ soit
la restriction de ad χ(w) ◦w G pour tout w ∈ W R .
Introduisons les espaces tordus ( ˆ
G W R ) ˆ
θ, ( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J et ( ˆ
M W R ) ˆ
θ
M ,
où ˆ
θ
M est la restriction commune de ˆ
θ et ˆ
θ J à ˆ
M . Il n’y a pas en général de
plongement d’espaces tordus
( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J → ( ˆ
G W R ) ˆ
θ.
On a toutefois deux plongements
( ˆ
G W R ) ˆ
θ
( ˆ
M W R ) ˆ
θ
M
( ˆ
G J W R ) ˆ
θ J .