V.5. Extension des définitions, cas général
547
Il en résulte que ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M est l’image de ρ
K ˜
LJ ,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M par
l’application
D g´ eom (O, ω)/ Ann
K ˜
GJ
O
→ D g´ eom (O, ω)/ Ann
K ˜
G
O .
Les formules (2) et (3) entraînent que ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) est l’image de
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a)
par la même application. Cela prouve la proposition 5.2 sous l’hypothèse (1).
V.5.4 Comparaison des espaces K ˜
G et K ˜
G J
On conserve les mêmes notations qu’au début du paragraphe précédent (mais on
n’impose pas l’hypothèse (1) de ce paragraphe). On a noté p l’élément de Π tel
que η ∈ ˜
M p (R). Pour simplifier, posons simplement ˜
M = ˜
M p , ˜
G = ˜
G p . Fixons une
paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G de sorte que M soit standard
pour (B, T ). On peut supposer que (B ∩ M, T ) est la paire de Borel pour M
figurant dans le diagramme fixé en 5.3. On note Σ
G (T ) l’ensemble des racines de
T dans g et Σ
G (A ˜
M ) celui des racines de A ˜
M dans g. On peut considérer que
Σ
G (A ˜
M ) ⊂ a
∗
˜
M
. On a une application de restriction
Σ
G (T ) → Σ
G (A ˜
M ) ∪ {0}
α
→
α A ˜
M
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. Cet élément détermine un Z-module R J de rang a ˜
M − a ˜
G dans
a
∗
˜
M
. Le groupe G J est engendré par T et les sous-espaces radiciels associés aux
α ∈ Σ
G (T ) tels que α A ˜
M
∈ R J . On note Σ
GJ (T ) l’ensemble des racines de T
dans g J . On a donc Σ
GJ (T ) ⊂ Σ
G (T ). La paire E est munie d’un automorphisme
θ. L’ensemble Σ
GJ (T ) est invariant par θ. Posons B J = B ∩ G J . Notons Δ J
l’ensemble des éléments de Σ
GJ (T ) qui sont simples pour l’ordre associé à B J . Les
ensembles Δ et Δ J contiennent tous deux l’ensemble Δ
M des racines simples de
T dans m pour l’ordre associé à B
M . Complétons (B J , T ) en une paire de Borel
épinglée E J = (B J , T, (E J,α ) α∈ΔJ ) de sorte que E J,α = E α pour α ∈ Δ
M .
Soit α ∈ Σ
GJ (T ). On voit que, si α est de type 1, resp. 2, en tant qu’élément
de Σ
G (T ), α est encore de type 1, resp. 2, en tant qu’élément de Σ
GJ (T ). Par
contre, si α est de type 3 en tant qu’élément de Σ
G (T ), α peut être de type 1 ou
3 en tant qu’élément de Σ
GJ (T ). En effet, il existe β ∈ Σ
G (T ) qui est de type 2,
de sorte que α = β + θ
n β /2 (β). Si β ∈ Σ
GJ (T ), α reste de type 3 dans Σ
GJ (T ).
Si β ∈ Σ
GJ (T ), α devient de type 1 dans Σ
GJ (T ). Notons Σ
GJ
irr (T ) l’ensemble des
α ∈ Σ
GJ (T ) qui sont de type 3 dans Σ
G (T ) et de type 1 dans Σ
GJ (T ) (l’indice
irr évoquant peut-être «irrégulier»). Soient e ∈ Z( ˜
G, E) et e J ∈ Z( ˜
G J , E J ). On
a e J = t J e, avec un t J ∈ T . L’égalité E J,α = E α pour α ∈ Δ
M entraîne que
t J ∈ Z(M ). Montrons que
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Il en résulte que ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M est l’image de ρ
K ˜
LJ ,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M par
l’application
D g´ eom (O, ω)/ Ann
K ˜
GJ
O
→ D g´ eom (O, ω)/ Ann
K ˜
G
O .
Les formules (2) et (3) entraînent que ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) est l’image de
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a)
par la même application. Cela prouve la proposition 5.2 sous l’hypothèse (1).
V.5.4 Comparaison des espaces K ˜
G et K ˜
G J
On conserve les mêmes notations qu’au début du paragraphe précédent (mais on
n’impose pas l’hypothèse (1) de ce paragraphe). On a noté p l’élément de Π tel
que η ∈ ˜
M p (R). Pour simplifier, posons simplement ˜
M = ˜
M p , ˜
G = ˜
G p . Fixons une
paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G de sorte que M soit standard
pour (B, T ). On peut supposer que (B ∩ M, T ) est la paire de Borel pour M
figurant dans le diagramme fixé en 5.3. On note Σ
G (T ) l’ensemble des racines de
T dans g et Σ
G (A ˜
M ) celui des racines de A ˜
M dans g. On peut considérer que
Σ
G (A ˜
M ) ⊂ a
∗
˜
M
. On a une application de restriction
Σ
G (T ) → Σ
G (A ˜
M ) ∪ {0}
α
→
α A ˜
M
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. Cet élément détermine un Z-module R J de rang a ˜
M − a ˜
G dans
a
∗
˜
M
. Le groupe G J est engendré par T et les sous-espaces radiciels associés aux
α ∈ Σ
G (T ) tels que α A ˜
M
∈ R J . On note Σ
GJ (T ) l’ensemble des racines de T
dans g J . On a donc Σ
GJ (T ) ⊂ Σ
G (T ). La paire E est munie d’un automorphisme
θ. L’ensemble Σ
GJ (T ) est invariant par θ. Posons B J = B ∩ G J . Notons Δ J
l’ensemble des éléments de Σ
GJ (T ) qui sont simples pour l’ordre associé à B J . Les
ensembles Δ et Δ J contiennent tous deux l’ensemble Δ
M des racines simples de
T dans m pour l’ordre associé à B
M . Complétons (B J , T ) en une paire de Borel
épinglée E J = (B J , T, (E J,α ) α∈ΔJ ) de sorte que E J,α = E α pour α ∈ Δ
M .
Soit α ∈ Σ
GJ (T ). On voit que, si α est de type 1, resp. 2, en tant qu’élément
de Σ
G (T ), α est encore de type 1, resp. 2, en tant qu’élément de Σ
GJ (T ). Par
contre, si α est de type 3 en tant qu’élément de Σ
G (T ), α peut être de type 1 ou
3 en tant qu’élément de Σ
GJ (T ). En effet, il existe β ∈ Σ
G (T ) qui est de type 2,
de sorte que α = β + θ
n β /2 (β). Si β ∈ Σ
GJ (T ), α reste de type 3 dans Σ
GJ (T ).
Si β ∈ Σ
GJ (T ), α devient de type 1 dans Σ
GJ (T ). Notons Σ
GJ
irr (T ) l’ensemble des
α ∈ Σ
GJ (T ) qui sont de type 3 dans Σ
G (T ) et de type 1 dans Σ
GJ (T ) (l’indice
irr évoquant peut-être «irrégulier»). Soient e ∈ Z( ˜
G, E) et e J ∈ Z( ˜
G J , E J ). On
a e J = t J e, avec un t J ∈ T . L’égalité E J,α = E α pour α ∈ Δ
M entraîne que
t J ∈ Z(M ). Montrons que