546
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
appartient à une composante ˜
M p (R) de K ˜
M (R). Fixons des données auxiliaires
M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
et un élément 1 ∈ ˜
M
1 (R) au-dessus de . On note O
1 la
classe de conjugaison stable de 1 dans ˜
M
1 (R). On peut identifier δ à un élément
δ 1 ∈ D
st
tr-orb,λ1 (O
1 ). Supposons d’abord
(1)
A M
= A M .
Notons ˜
R
le commutant de A M
dans ˜
M
et O ˜
R la classe de conjugaison stable
de dans ˜
R
(R). On note ˜
R
1 l’image réciproque de ˜
R
dans ˜
M
1 et O
˜
R
1
la classe
de conjugaison stable de 1 dans ˜
R
1 (R). D’après le lemme 4.4, on peut fixer
δ ˜
R
1
∈ D
st
tr-orb,λ1 (O
˜
R
1
) de sorte que δ 1 soit l’image de δ ˜
R
1
par induction de ˜
R
1
à ˜
M
1 . Du diagramme fixé se déduit un homomorphisme ξ : T
θ,0
→ T
. On note
par anticipation A ˜
Rp la composante neutre de l’image réciproque de A M
par cet
homomorphisme. Dans la composante ˜
M p , on a fixé un espace de Levi minimal
˜
M p,0 . Quitte à conjuguer η, on peut supposer A ˜
Rp ⊂ A ˜
Mp,0 . On note ˜
R p le commutant de A ˜
Rp dans ˜
M p . C’est un espace de Levi semi-standard, qui se complète
en un K-espace de Levi K ˜
R. On note O ˜
R la classe de conjugaison stable de η
dans K ˜
R(R). L’espace ˜
R
apparaît comme l’espace endoscopique d’une donnée
endoscopique R
de (KR, K ˜
R, a). Des données auxiliaires fixées pour M
se déduisent des données auxiliaires pour R
. On voit que δ ˜
R
1
s’identifie à un élément
de D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ) que l’on note δ R . Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
et a ∈ A K ˜
M (R) en position
générale et proche de 1, on a alors la formule d’induction 2.5(8) :
(2)
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
K ˜
L∈L K ˜
G (K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M .
On a la formule parallèle
(3) ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a)=
K ˜
L ∈L
K ˜
G J (K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
GJ
˜
R
( ˜
M , ˜
L
)ρ
K ˜
L
,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M .
On voit aisément que l’application K ˜
L → K ˜
L J est une bijection de l’ensemble des
K ˜
L ∈ L
K ˜
G (K ˜
R) tels que J ∈ J
˜
L
˜
R
sur l’ensemble des K ˜
L
∈ L
K ˜
GJ (K ˜
R) tels que
J ∈ J
˜
L
˜
R
. Pour K ˜
L dans l’ensemble de départ, on a
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = d
˜
GJ
˜
R
( ˜
M , ˜
L J ).
En effet, cela résulte des égalités A ˜
GJ = A ˜
G , A ˜
LJ = A ˜
L . L’hypothèse (1) permet d’appliquer par récurrence la proposition 5.2 à tous les termes apparaissant
dans les formules ci-dessus. C’est-à-dire que, pour tout K ˜
L intervenant dans (2),
ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a) est l’image de ρ
K ˜
LJ ,E
J
(R
, δ R , a) par l’application
D g´ eom (O ˜
R , ω)/ Ann
K ˜
LJ
O ˜
R
→ D g´ eom (O ˜
R , ω)/ Ann
K ˜
L
O ˜
R
.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
appartient à une composante ˜
M p (R) de K ˜
M (R). Fixons des données auxiliaires
M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
et un élément 1 ∈ ˜
M
1 (R) au-dessus de . On note O
1 la
classe de conjugaison stable de 1 dans ˜
M
1 (R). On peut identifier δ à un élément
δ 1 ∈ D
st
tr-orb,λ1 (O
1 ). Supposons d’abord
(1)
A M
= A M .
Notons ˜
R
le commutant de A M
dans ˜
M
et O ˜
R la classe de conjugaison stable
de dans ˜
R
(R). On note ˜
R
1 l’image réciproque de ˜
R
dans ˜
M
1 et O
˜
R
1
la classe
de conjugaison stable de 1 dans ˜
R
1 (R). D’après le lemme 4.4, on peut fixer
δ ˜
R
1
∈ D
st
tr-orb,λ1 (O
˜
R
1
) de sorte que δ 1 soit l’image de δ ˜
R
1
par induction de ˜
R
1
à ˜
M
1 . Du diagramme fixé se déduit un homomorphisme ξ : T
θ,0
→ T
. On note
par anticipation A ˜
Rp la composante neutre de l’image réciproque de A M
par cet
homomorphisme. Dans la composante ˜
M p , on a fixé un espace de Levi minimal
˜
M p,0 . Quitte à conjuguer η, on peut supposer A ˜
Rp ⊂ A ˜
Mp,0 . On note ˜
R p le commutant de A ˜
Rp dans ˜
M p . C’est un espace de Levi semi-standard, qui se complète
en un K-espace de Levi K ˜
R. On note O ˜
R la classe de conjugaison stable de η
dans K ˜
R(R). L’espace ˜
R
apparaît comme l’espace endoscopique d’une donnée
endoscopique R
de (KR, K ˜
R, a). Des données auxiliaires fixées pour M
se déduisent des données auxiliaires pour R
. On voit que δ ˜
R
1
s’identifie à un élément
de D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ) que l’on note δ R . Pour J ∈ J
˜
G
˜
M
et a ∈ A K ˜
M (R) en position
générale et proche de 1, on a alors la formule d’induction 2.5(8) :
(2)
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
K ˜
L∈L K ˜
G (K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M .
On a la formule parallèle
(3) ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a)=
K ˜
L ∈L
K ˜
G J (K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
GJ
˜
R
( ˜
M , ˜
L
)ρ
K ˜
L
,E
J
(R
, δ R , a)
K ˜
M .
On voit aisément que l’application K ˜
L → K ˜
L J est une bijection de l’ensemble des
K ˜
L ∈ L
K ˜
G (K ˜
R) tels que J ∈ J
˜
L
˜
R
sur l’ensemble des K ˜
L
∈ L
K ˜
GJ (K ˜
R) tels que
J ∈ J
˜
L
˜
R
. Pour K ˜
L dans l’ensemble de départ, on a
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = d
˜
GJ
˜
R
( ˜
M , ˜
L J ).
En effet, cela résulte des égalités A ˜
GJ = A ˜
G , A ˜
LJ = A ˜
L . L’hypothèse (1) permet d’appliquer par récurrence la proposition 5.2 à tous les termes apparaissant
dans les formules ci-dessus. C’est-à-dire que, pour tout K ˜
L intervenant dans (2),
ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ R , a) est l’image de ρ
K ˜
LJ ,E
J
(R
, δ R , a) par l’application
D g´ eom (O ˜
R , ω)/ Ann
K ˜
LJ
O ˜
R
→ D g´ eom (O ˜
R , ω)/ Ann
K ˜
L
O ˜
R
.