V.5. Extension des définitions, cas général
545
Comme dans ce paragraphe, c’est l’image de ρ
K ˜
GJ
J
(γ, a) par l’application naturelle
(1)
(D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
GJ
O
→ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O .
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a), elliptique
et relevante, soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R)
corespondant à O et soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . Pour a comme
ci-dessus, on définit ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) comme en 2.4.
Proposition. Le terme ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) est l’image de ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a) par l’application (1).
Cela sera prouvé dans les paragraphes 5.3 et 5.5.
Admettons ce résultat. On va vérifier la condition 2.5(4). Soit donc J ∈ J
˜
G
˜
M
un élément non-maximal. Soit γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . On l’écrit
(2)
γ = γ orb +
i=1,...,n
transfert(δ i )
comme en 2.5(1). On pose
ρ
K ˜
G
J (γ, a) = ρ
K ˜
G
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
K ˜
G,E
J
(M
i , δ i , a).
On doit prouver que cette expression ne dépend pas de la décomposition (2).
D’après ce que l’on a dit ci-dessus pour γ orb et d’après la proposition pour les
autres termes, ρ
K ˜
G
J (γ, a) est l’image de
ρ
K ˜
GJ
J
(γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a)
par l’application (1). Or dim(G J,SC ) < dim(G SC ) puisque J n’est pas maximal.
Par récurrence, l’expression ci-dessus ne dépend pas de la décomposition (1) :
elle vaut ρ
K ˜
GJ
J
(γ, a). Il en est donc de même de ρ
K ˜
G
J (γ, a). Cela prouve 2.5(4).
Comme on l’a vu en 2.5, cette relation suffit, sous l’hypothèse (Hyp), pour valider
le programme de 2.4.
V.5.3 Preuve de la proposition 5.2, premier cas
On fixe M
, O
, δ comme dans cette proposition. Pour simplifier, on fixe des
mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent, afin de se débarrasser des
espaces de mesures. On fixe un élément ∈ O
tel que M
soit quasi-déployé et
un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant à un élément η ∈ O. L’élément η
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Comme dans ce paragraphe, c’est l’image de ρ
K ˜
GJ
J
(γ, a) par l’application naturelle
(1)
(D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
GJ
O
→ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O .
Soit M
= (M
, M
, ˜
ζ) une donnée endoscopique de (M, ˜
M , a), elliptique
et relevante, soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R)
corespondant à O et soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . Pour a comme
ci-dessus, on définit ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) comme en 2.4.
Proposition. Le terme ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) est l’image de ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
, δ, a) par l’application (1).
Cela sera prouvé dans les paragraphes 5.3 et 5.5.
Admettons ce résultat. On va vérifier la condition 2.5(4). Soit donc J ∈ J
˜
G
˜
M
un élément non-maximal. Soit γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . On l’écrit
(2)
γ = γ orb +
i=1,...,n
transfert(δ i )
comme en 2.5(1). On pose
ρ
K ˜
G
J (γ, a) = ρ
K ˜
G
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
K ˜
G,E
J
(M
i , δ i , a).
On doit prouver que cette expression ne dépend pas de la décomposition (2).
D’après ce que l’on a dit ci-dessus pour γ orb et d’après la proposition pour les
autres termes, ρ
K ˜
G
J (γ, a) est l’image de
ρ
K ˜
GJ
J
(γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
K ˜
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a)
par l’application (1). Or dim(G J,SC ) < dim(G SC ) puisque J n’est pas maximal.
Par récurrence, l’expression ci-dessus ne dépend pas de la décomposition (1) :
elle vaut ρ
K ˜
GJ
J
(γ, a). Il en est donc de même de ρ
K ˜
G
J (γ, a). Cela prouve 2.5(4).
Comme on l’a vu en 2.5, cette relation suffit, sous l’hypothèse (Hyp), pour valider
le programme de 2.4.
V.5.3 Preuve de la proposition 5.2, premier cas
On fixe M
, O
, δ comme dans cette proposition. Pour simplifier, on fixe des
mesures de Haar sur tous les groupes qui apparaissent, afin de se débarrasser des
espaces de mesures. On fixe un élément ∈ O
tel que M
soit quasi-déployé et
un diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) joignant à un élément η ∈ O. L’élément η