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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = [F 0 : R](4n
2
− 1). Soit N ∈ N. Pour démontrer le lemme
relativement à un triplet tel que N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = N , on le suppose vérifié pour tout triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) vérifiant des conditions similaires et tel que
N
max (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N. On suppose aussi vérifiés tous nos résultats concernant
des triplets (KG, K ˜
G, a) tels que dim(G SC ) ≤ N . Par ailleurs, pour démontrer un
résultat concernant un tel triplet (KG, K ˜
G, a) tel que dim(G SC ) = N , on suppose
le lemme ci-dessus vérifié pour tout triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) comme ci-dessus tel que
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) < N.
On a
(9) supposons le lemme vérifié dans le cas où les trois conditions suivantes sont satisfaites : (G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire, (8) est vérifiée et B 1 est constante
de valeur 1 ; alors le lemme est vérifié.
Preuve. Comme en [III] 6.6, on montre que l’assertion du lemme est insensible à
la multiplication de j ∗ , B 1 ou B 2 par des constantes. Cela nous ramène au cas où
(G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire. Si (7) est vérifié, j ∗ provient d’un isomorphisme
de G 1 sur G 2 et l’assertion est tautologique. Si (8) est vérifiée, on voit que l’une
des fonctions B 1 ou B 2 est constante. Il est clair que le lemme pour (G 1 , G 2 , j ∗ )
est équivalent à celui pour (G 2 , G 1 , j
−1
∗ ). Quitte à échanger ces deux triplets et à
multiplier nos fonctions par des constantes, on peut donc supposer B 1 constante
de valeur 1. Cela prouve (9).
V.5.2 Réalisation conditionnelle du programme de 2.4
On considère un K-triplet (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) et
une classe de conjugaison stable semi-simple O dans K ˜
M (R). On va réaliser le
programme fixé en 2.4 sous l’hypothèse (Hyp) de 2.5, que l’on rappelle :
(Hyp). Pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support est formé
d’éléments fortement ˜
G-réguliers et pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)),
on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
Ecrivons K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π , K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M . Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. Pour p ∈ Π
M , on
peut identifier J à un élément de J
˜
Gp
˜
Mp
. En [II] 3.1, on a associé à J un sous-groupe
G p,J ⊂ G p et un sous-espace tordu ˜
G p,J ⊂ ˜
G p , qui contiennent respectivement
M p et ˜
M p . On voit que la collection ( ˜
G p,J ) p∈Π M s’étend en un K-espace tordu
K ˜
G J = ( ˜
G p,J ) p∈ΠJ , dont K ˜
M est un K-espace de Levi. Signalons que, parce qu’on
se s’intéressera qu’à des distributions induites à partir de K ˜
M , les composantes
˜
G p,J pour p ∈ Π J − Π
M ne joueront aucun rôle.
Soient γ ∈ D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et a ∈ A K ˜
M (R) en position générale
et proche de 1. On définit comme en [II] 3.2 le terme
ρ
K ˜
G
J (γ, a) ∈ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O .
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = [F 0 : R](4n
2
− 1). Soit N ∈ N. Pour démontrer le lemme
relativement à un triplet tel que N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = N , on le suppose vérifié pour tout triplet (G
1 , G
2 , j
∗ ) vérifiant des conditions similaires et tel que
N
max (G
1 , G
2 , j
∗ ) < N. On suppose aussi vérifiés tous nos résultats concernant
des triplets (KG, K ˜
G, a) tels que dim(G SC ) ≤ N . Par ailleurs, pour démontrer un
résultat concernant un tel triplet (KG, K ˜
G, a) tel que dim(G SC ) = N , on suppose
le lemme ci-dessus vérifié pour tout triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) comme ci-dessus tel que
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) < N.
On a
(9) supposons le lemme vérifié dans le cas où les trois conditions suivantes sont satisfaites : (G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire, (8) est vérifiée et B 1 est constante
de valeur 1 ; alors le lemme est vérifié.
Preuve. Comme en [III] 6.6, on montre que l’assertion du lemme est insensible à
la multiplication de j ∗ , B 1 ou B 2 par des constantes. Cela nous ramène au cas où
(G 1 , G 2 , j ∗ ) est quasi-élémentaire. Si (7) est vérifié, j ∗ provient d’un isomorphisme
de G 1 sur G 2 et l’assertion est tautologique. Si (8) est vérifiée, on voit que l’une
des fonctions B 1 ou B 2 est constante. Il est clair que le lemme pour (G 1 , G 2 , j ∗ )
est équivalent à celui pour (G 2 , G 1 , j
−1
∗ ). Quitte à échanger ces deux triplets et à
multiplier nos fonctions par des constantes, on peut donc supposer B 1 constante
de valeur 1. Cela prouve (9).
V.5.2 Réalisation conditionnelle du programme de 2.4
On considère un K-triplet (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 ) et
une classe de conjugaison stable semi-simple O dans K ˜
M (R). On va réaliser le
programme fixé en 2.4 sous l’hypothèse (Hyp) de 2.5, que l’on rappelle :
(Hyp). Pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support est formé
d’éléments fortement ˜
G-réguliers et pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)),
on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
Ecrivons K ˜
G = ( ˜
G p ) p∈Π , K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M . Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
. Pour p ∈ Π
M , on
peut identifier J à un élément de J
˜
Gp
˜
Mp
. En [II] 3.1, on a associé à J un sous-groupe
G p,J ⊂ G p et un sous-espace tordu ˜
G p,J ⊂ ˜
G p , qui contiennent respectivement
M p et ˜
M p . On voit que la collection ( ˜
G p,J ) p∈Π M s’étend en un K-espace tordu
K ˜
G J = ( ˜
G p,J ) p∈ΠJ , dont K ˜
M est un K-espace de Levi. Signalons que, parce qu’on
se s’intéressera qu’à des distributions induites à partir de K ˜
M , les composantes
˜
G p,J pour p ∈ Π J − Π
M ne joueront aucun rôle.
Soient γ ∈ D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et a ∈ A K ˜
M (R) en position générale
et proche de 1. On définit comme en [II] 3.2 le terme
ρ
K ˜
G
J (γ, a) ∈ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O .