V.5. Extension des définitions, cas général
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sur R et un réel non nul r. On définit comme ci-dessus l’automorphisme γ → γ[r]
de D unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ . On montre que
(5) l’espace D tr-unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par cet automorphisme ;
(6) si G est quasi-déployé, D
st
tr-unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par cet
automorphisme.
Puisque l’automorphisme respecte clairement la stabilité, (6) résulte de (5).
Il est clair que l’espace D orb,unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par l’automorphisme. Soit G
une donnée endoscopique elliptique et relevante de G, avec G
= G.
Soit δ ∈ D
st
tr-unip (G
)⊗Mes(G
(R))
∗ , posons γ = transfert(δ). On doit prouver que
γ[r] appartient à D tr-unip (G(R))⊗Mes(G(R))
∗ . Comme dans la preuve de [III] 6.6,
on montre qu’il existe une constante c(r) = 0 telle que γ[r] = c(r) transfert(δ[r]).
En utilisant (6) par récurrence, on a δ[r] ∈ D
st
tr-unip (G
) ⊗ Mes(G
(R))
∗ , d’où la
conclusion. Cela prouve (5) et (4).
Supposons que le triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet quasi-élémentaire. Notons (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) le triplet élémentaire sur F 0 = R ou C tel que
(G 1 , G 2 , j ∗ ) soit équivalent au triplet déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) par restriction
des scalaires de F 0 à R. Aux Levi M 1 et M 2 sont associés des Levi M 0,1 et M 0,2
de G 0,1 et G 0,2 . Supposons l’une des conditions suivantes vérifiée :
(7) (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) est du type (1) de [III] 6.1 ;
(8) (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de l’un des types (2) ou (3) de [III] 6.1 ; pour i = 1, 2,
si G 0,i est de type B n , resp. C n , les éléments de Σ
M0,i (T 0,i ) sont des racines
longues, resp. courtes.
Chacune de ces conditions implique (3). La condition (8) implique que le
groupe M SC défini ci-dessus est isomorphe à un produit de groupes SL k (R) si
F 0 = R, de groupes SL k (C) si F 0 = C.
Soient B 1 et B 2 des fonctions comme en [III] 6.3, vérifiant toutes deux les
hypothèses de [II] 1.8. On a alors un lemme similaire à [III] 6.4.
Lemme. On suppose vérifiée l’une des conditions (7) ou (8). Pour i = 1, 2, soient
J i ∈ J
Gi
Mi (B i ) et δ i ∈ D
st
tr-unip (M i (R)) ⊗ Mes(M i (R))
∗ . On suppose que J 1 et
J 2 se correspondent par la bijection entre les ensembles Σ(A Mi , B i ) et que δ 1
et δ 2 se correspondent par l’isomorphisme (4) ci-dessus. Alors, pour tout X 1 ∈
a M1 (R) en position générale et proche de 0, les éléments σ
G1
J1 (δ 1 , exp(X 1 )) et
c
G1,G2
M1,M2 σ
G2
J2 (δ 2 , exp(j ∗ (X 1 ))) se correspondent par l’isomorphisme (4).
Ce lemme sera démontré en 5.7, modulo des hypothèses de récurrence que
nous allons décrire. On a défini l’entier N (G 1 , G 2 , j ∗ ) en [III] 6.1. Rappelons que
(G 2 , G 1 , j
−1
∗ ) est aussi un triplet quasi-élémentaire. On pose
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup(N (G 1 , G 2 , j ∗ ), N(G 2 , G 1 , j
−1
∗ )).
Plus simplement, si (7) est vérifiée, N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = 0. Si (8) est vérifiée
et que les systèmes de racines de G 0,1 et G 0,2 sont de type B n ou C n , on a
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sur R et un réel non nul r. On définit comme ci-dessus l’automorphisme γ → γ[r]
de D unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ . On montre que
(5) l’espace D tr-unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par cet automorphisme ;
(6) si G est quasi-déployé, D
st
tr-unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par cet
automorphisme.
Puisque l’automorphisme respecte clairement la stabilité, (6) résulte de (5).
Il est clair que l’espace D orb,unip (G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ est invariant par l’automorphisme. Soit G
une donnée endoscopique elliptique et relevante de G, avec G
= G.
Soit δ ∈ D
st
tr-unip (G
)⊗Mes(G
(R))
∗ , posons γ = transfert(δ). On doit prouver que
γ[r] appartient à D tr-unip (G(R))⊗Mes(G(R))
∗ . Comme dans la preuve de [III] 6.6,
on montre qu’il existe une constante c(r) = 0 telle que γ[r] = c(r) transfert(δ[r]).
En utilisant (6) par récurrence, on a δ[r] ∈ D
st
tr-unip (G
) ⊗ Mes(G
(R))
∗ , d’où la
conclusion. Cela prouve (5) et (4).
Supposons que le triplet (G 1 , G 2 , j ∗ ) est équivalent à un triplet quasi-élémentaire. Notons (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) le triplet élémentaire sur F 0 = R ou C tel que
(G 1 , G 2 , j ∗ ) soit équivalent au triplet déduit de (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) par restriction
des scalaires de F 0 à R. Aux Levi M 1 et M 2 sont associés des Levi M 0,1 et M 0,2
de G 0,1 et G 0,2 . Supposons l’une des conditions suivantes vérifiée :
(7) (G 0,1 , G 0,2 , j 0∗ ) est du type (1) de [III] 6.1 ;
(8) (G 0,1 , G 0,2 , j 0,∗ ) est de l’un des types (2) ou (3) de [III] 6.1 ; pour i = 1, 2,
si G 0,i est de type B n , resp. C n , les éléments de Σ
M0,i (T 0,i ) sont des racines
longues, resp. courtes.
Chacune de ces conditions implique (3). La condition (8) implique que le
groupe M SC défini ci-dessus est isomorphe à un produit de groupes SL k (R) si
F 0 = R, de groupes SL k (C) si F 0 = C.
Soient B 1 et B 2 des fonctions comme en [III] 6.3, vérifiant toutes deux les
hypothèses de [II] 1.8. On a alors un lemme similaire à [III] 6.4.
Lemme. On suppose vérifiée l’une des conditions (7) ou (8). Pour i = 1, 2, soient
J i ∈ J
Gi
Mi (B i ) et δ i ∈ D
st
tr-unip (M i (R)) ⊗ Mes(M i (R))
∗ . On suppose que J 1 et
J 2 se correspondent par la bijection entre les ensembles Σ(A Mi , B i ) et que δ 1
et δ 2 se correspondent par l’isomorphisme (4) ci-dessus. Alors, pour tout X 1 ∈
a M1 (R) en position générale et proche de 0, les éléments σ
G1
J1 (δ 1 , exp(X 1 )) et
c
G1,G2
M1,M2 σ
G2
J2 (δ 2 , exp(j ∗ (X 1 ))) se correspondent par l’isomorphisme (4).
Ce lemme sera démontré en 5.7, modulo des hypothèses de récurrence que
nous allons décrire. On a défini l’entier N (G 1 , G 2 , j ∗ ) en [III] 6.1. Rappelons que
(G 2 , G 1 , j
−1
∗ ) est aussi un triplet quasi-élémentaire. On pose
N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = sup(N (G 1 , G 2 , j ∗ ), N(G 2 , G 1 , j
−1
∗ )).
Plus simplement, si (7) est vérifiée, N
max (G 1 , G 2 , j ∗ ) = 0. Si (8) est vérifiée
et que les systèmes de racines de G 0,1 et G 0,2 sont de type B n ou C n , on a