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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
classes de conjugaison stable semi-simples dans g 1 (R) et classes de conjugaison
stable semi-simples dans g 2 (R). De cette correspondance résulte un isomorphisme
SI(g 1 (R)) ⊗ Mes(G 1 (R)) SI(g 2 (R)) ⊗ Mes(G 2 (R))
∗ .
En effet, les espaces SI(g i (R)) sont décrits par Shelstad (celle-ci traite le cas des
groupes mais la description vaut a fortiori pour les algèbres de Lie). Le point essentiel de cette descrition sont les conditions de saut. Mais celles-ci sont insensibles
au remplacement d’une racine par un multiple réel (ici rationnel) de cette racine.
L’assertion ci-dessus s’ensuit.
Soient M 1 et M 2 des Levi de G 1 et G 2 qui se correspondent. En remplaçant
ci-dessus G 1 et G 2 par M 1 et M 2 , puis en dualisant, on obtient un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (m 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
g´ eom (m 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
En le restreignant aux distributions à support nilpotent, puis en passant aux
groupes par l’exponentielle, on obtient un isomorphisme
(2)
D
st
unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
En reprenant la preuve du lemme [II] 3.1, on voit que cet isomorphisme envoie
Ann
G1,st
unip sur Ann
G2,st
unip .
On impose
(3) la fonction b (cf. [III] 6.1) est constante sur l’ensemble de racines Σ
M2 (T 2 ).
Montrons que
(4) sous l’hypothèse (3), l’isomorphisme (2) se restreint en un isomorphisme
D
st
tr-unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
tr-unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
L’hypothèse (3) entraîne que les revêtements simplement connexes des
groupes dérivés de M 1 et M 2 sont isomorphes. Notons M SC ce revêtement commun et notons b la valeur constante de b sur Σ
M2 (T 2 ). L’automorphisme X → bX
de m SC induit un automorphisme γ → γ[b] de D
st
nil (m SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ ,
qui se relève en un automorphisme de D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ noté de
la même façon. On a un diagramme commutatif
D
st
unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗
ι
∗
MSC ,M1 ↑
↑ ι
∗
MSC ,M2
D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗
γ →γ[b]
→
D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ .
D’après le lemme 3.3, les applications ι
∗
MSC ,Mi pour i = 1, 2 deviennent des isomorphismes quand on remplace les espaces D
st
unip par les espaces D
st
tr-unip . Il suffit donc
de prouver que l’espace D
st
tr-unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ est stable par l’application γ → γ[b]. Plus généralement, considérons un groupe réductif connexe G
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
classes de conjugaison stable semi-simples dans g 1 (R) et classes de conjugaison
stable semi-simples dans g 2 (R). De cette correspondance résulte un isomorphisme
SI(g 1 (R)) ⊗ Mes(G 1 (R)) SI(g 2 (R)) ⊗ Mes(G 2 (R))
∗ .
En effet, les espaces SI(g i (R)) sont décrits par Shelstad (celle-ci traite le cas des
groupes mais la description vaut a fortiori pour les algèbres de Lie). Le point essentiel de cette descrition sont les conditions de saut. Mais celles-ci sont insensibles
au remplacement d’une racine par un multiple réel (ici rationnel) de cette racine.
L’assertion ci-dessus s’ensuit.
Soient M 1 et M 2 des Levi de G 1 et G 2 qui se correspondent. En remplaçant
ci-dessus G 1 et G 2 par M 1 et M 2 , puis en dualisant, on obtient un isomorphisme
(1)
D
st
g´ eom (m 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
g´ eom (m 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
En le restreignant aux distributions à support nilpotent, puis en passant aux
groupes par l’exponentielle, on obtient un isomorphisme
(2)
D
st
unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
En reprenant la preuve du lemme [II] 3.1, on voit que cet isomorphisme envoie
Ann
G1,st
unip sur Ann
G2,st
unip .
On impose
(3) la fonction b (cf. [III] 6.1) est constante sur l’ensemble de racines Σ
M2 (T 2 ).
Montrons que
(4) sous l’hypothèse (3), l’isomorphisme (2) se restreint en un isomorphisme
D
st
tr-unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
tr-unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗ .
L’hypothèse (3) entraîne que les revêtements simplement connexes des
groupes dérivés de M 1 et M 2 sont isomorphes. Notons M SC ce revêtement commun et notons b la valeur constante de b sur Σ
M2 (T 2 ). L’automorphisme X → bX
de m SC induit un automorphisme γ → γ[b] de D
st
nil (m SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ ,
qui se relève en un automorphisme de D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ noté de
la même façon. On a un diagramme commutatif
D
st
unip (M 1 (R)) ⊗ Mes(M 1 (R))
∗
D
st
unip (M 2 (R)) ⊗ Mes(M 2 (R))
∗
ι
∗
MSC ,M1 ↑
↑ ι
∗
MSC ,M2
D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗
γ →γ[b]
→
D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ .
D’après le lemme 3.3, les applications ι
∗
MSC ,Mi pour i = 1, 2 deviennent des isomorphismes quand on remplace les espaces D
st
unip par les espaces D
st
tr-unip . Il suffit donc
de prouver que l’espace D
st
tr-unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ est stable par l’application γ → γ[b]. Plus généralement, considérons un groupe réductif connexe G