V.5. Extension des définitions, cas général
541
Par induction, la formule (6) donne
transfert(δ) = (transfert(δ R ))
˜
M =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y]
M η[y] ).
Il y a une application naturelle de ˙
X
R (η) dans ˙
X
M (η) : à un élément y
du premier
ensemble, on associe l’unique élément y du second tel que les points η[y
] et η[y]
soient conjugués par un élément de M (R). En fixant une telle conjugaison, on
peut identifier γ[y
]
M η[y ] à un élément de D tr-orb (M η[y] (R)) ⊗ Mes(M η[y] (R))
∗ . En
notant γ[y] la somme des γ[y
]
M η[y ] sur les éléments y
s’envoyant sur y, on obtient
transfert(δ) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y])
et
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y], a)).
Mais alors, la définition (1) conduit à l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Cela achève la preuve de (3).
On définit l’application σ
˜
G
J par la formule 2.4(13). Soit δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ . D’après le lemme 4.3 (ii), on peut choisir δ η ∈ D
st
tr-unip (M η (R)) ⊗
Mes(M η (R))
∗ de sorte que δ = desc
st, ˜
M,∗
η
(δ η ). Pour a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1, on a
(9)
σ
˜
G
J (δ, a) = e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ η , a)),
cf. [III] 4.3 pour la définition de e
˜
G
˜
M
(η). Cela se prouve comme en [III] 7.3, à partir
de la formule de descente déjà prouvée pour le terme ρ
˜
G
J (δ, a). La formule (9)
implique que σ
˜
G
J (δ, a) est stable modulo Ann
˜
G
O .
On a ainsi vérifié les conditions (1) et (2) de 2.7. Elles impliquent la validité
du programme de 2.4.
V.5 Extension des définitions, cas général
V.5.1 Un résultat complémentaire pour l’endoscopie non standard
On considère ici un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ), cf. [III] 6.1 dont
on reprend les notations. Rappelons qu’il y a une correspondance bijective entre
541
Par induction, la formule (6) donne
transfert(δ) = (transfert(δ R ))
˜
M =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y]
M η[y] ).
Il y a une application naturelle de ˙
X
R (η) dans ˙
X
M (η) : à un élément y
du premier
ensemble, on associe l’unique élément y du second tel que les points η[y
] et η[y]
soient conjugués par un élément de M (R). En fixant une telle conjugaison, on
peut identifier γ[y
]
M η[y ] à un élément de D tr-orb (M η[y] (R)) ⊗ Mes(M η[y] (R))
∗ . En
notant γ[y] la somme des γ[y
]
M η[y ] sur les éléments y
s’envoyant sur y, on obtient
transfert(δ) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y])
et
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y], a)).
Mais alors, la définition (1) conduit à l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) = ρ
˜
G
J (transfert(δ), a).
Cela achève la preuve de (3).
On définit l’application σ
˜
G
J par la formule 2.4(13). Soit δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗
Mes(M (R))
∗ . D’après le lemme 4.3 (ii), on peut choisir δ η ∈ D
st
tr-unip (M η (R)) ⊗
Mes(M η (R))
∗ de sorte que δ = desc
st, ˜
M,∗
η
(δ η ). Pour a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1, on a
(9)
σ
˜
G
J (δ, a) = e
˜
G
˜
M
(η) desc
st, ˜
M,∗
η
(σ
Gη
J (δ η , a)),
cf. [III] 4.3 pour la définition de e
˜
G
˜
M
(η). Cela se prouve comme en [III] 7.3, à partir
de la formule de descente déjà prouvée pour le terme ρ
˜
G
J (δ, a). La formule (9)
implique que σ
˜
G
J (δ, a) est stable modulo Ann
˜
G
O .
On a ainsi vérifié les conditions (1) et (2) de 2.7. Elles impliquent la validité
du programme de 2.4.
V.5 Extension des définitions, cas général
V.5.1 Un résultat complémentaire pour l’endoscopie non standard
On considère ici un triplet endoscopique non standard (G 1 , G 2 , j ∗ ), cf. [III] 6.1 dont
on reprend les notations. Rappelons qu’il y a une correspondance bijective entre