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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
D’où par induction
ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a)
˜
M = ρ
˜
L
J (transfert(δ R ), a)
˜
M =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
L η[y]
J
(γ[y], a)
M η[y] ).
Revenant à la formule (5), on obtient
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (X J [y]),
où
X J [y] =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
(BO)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
L η[y]
J
(γ[y], a)
M η[y] .
Notons E l’ensemble des ˜
L ∈ L( ˜
R) tels que J ∈ J
˜
L
˜
R
(B O ˜
R
) et d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0. Fixons
y ∈ ˙
X
R (η). Notons E η[y] l’ensemble des L
∈ L
G η[y] (R η[y] ) tels que J ∈ J
L
R η[y]
(B)
et d
G η[y]
R η[y]
(M η[y] , L
) = 0. Montrons que
(7) l’application ˜
L → L η[y] se restreint en une bijection de E sur E η[y] ; pour
˜
L ∈ E, on a l’égalité d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = d
G η[y]
R η[y]
(M η[y] , L η[y] ).
On ne perd rien à supposer y = 1 (on n’utilisera pas ici le fait que G η
est quasi-déployé). Comme on l’a dit plus haut, le fait que J
˜
L
˜
R
(B O ˜
R
) soit nonvide implique que A Lη = A L et que J
˜
L
˜
R
(B O ˜
R
) = J
Lη
Rη (B). Si ˜
L ∈ E, on a donc
J ∈ J
Lη
Rη (B) et les égalités A S = A Sη pour S = G, M, L, R. Il en résulte que
d
Gη
Rη (M η , L η ) = d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L) = 0. Donc L η ∈ E η . Notons que l’égalité précédente est
la dernière assertion de (7). L’égalité A Lη = A L implique que ˜
L est uniquement
déterminé par L η . Réciproquement, pour L
∈ E η , on définit ˜
L par l’égalité A L =
A L et des arguments analogues montrent que ˜
L ∈ E. Cela prouve (7).
Grâce à (8), on peut récrire
X J [y] =
L ∈L
G η[y] (R η[y] ),J∈J L
R η[y]
(B)
d
G η[y]
R η[y]
(M η[y] , L
)ρ
L
J (γ[y], a)
M η[y] .
En vertu de la formule de descente 2.4(7) déjà prouvée pour le groupe G η[y] , on
obtient
X J [y] = ρ
G η[y]
J
(γ[y]
M η[y] , a),
d’où
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y]
M η[y] , a)).