V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
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pour tout y. On a une application surjective p : ˙
Y
M (η) → ˙
X
M (η) et on peut
supposer nos systèmes de représentants choisis de sorte que η[y] soit constant sur
les fibres. Pour y ∈ ˙
X
M (η), posons
γ[y] =
y ∈p −1 (y)
transfert y (δ ).
Les formules ci-dessus se récrivent
transfert(δ) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y])
et
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
X M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y], a)).
Il suffit d’appliquer la définition (1) pour conclure à l’égalité
ρ
˜
G,E
J (M
, δ) = ρ
˜
G
J (transfert(δ)).
Cela prouve (3) sous l’hypothèse (4).
Supposons maintenant A M
= A M . On introduit l’espace de Levi ˜
R
de
˜
M
tel que A M
= A R . C’est l’espace d’une donnée endoscopique elliptique d’un
espace de Levi ˜
R de ˜
M contenant η. On note O
˜
R la classe de conjugaison stable
de dans ˜
R
(R) et O ˜
R celle de η dans ˜
R(R). Appliquant le lemme 4.4, on peut
fixer δ R ∈ D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ) ⊗ Mes(R
(R))
∗ de sorte que δ = (δ R )
M
. On applique
l’analogue de 2.5(8) qui est valide puisque M
= M :
(5)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a)
˜
M .
Fixons ˜
L apparaissant ci-dessus. Par récurrence, on peut supposer que
ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a) = ρ
˜
L
J (transfert(δ R ), a)).
On a les relations A R ⊂ A Rη ⊂ A R = A R = A R . Donc A R = A Rη . On est donc
dans la situation de départ, avec ˜
G et ˜
M remplacés par ˜
L et ˜
R. Ecrivons
(6)
transfert(δ R ) =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
R,∗
η[y] (γ[y]).
On peut supposer que ρ
˜
L
J (transfert(δ R ), a) est donné par l’analogue de la formule
(1), à savoir
ρ
˜
L
J (transfert(δ R ), a) =
y∈ ˙
X R (η)
desc
˜
R,∗
η[y] (ρ
L η[y]
J
(γ[y], a)).