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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
On va montrer que l’application ρ
˜
G
J ainsi définie vérifie les conditions (1) et
(3) de 2.4, c’est-à-dire
(2) cette définition coïncide avec celle de [II] 3.4 pour γ ∈ D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ;
(3) soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ) avec M
=
M ; soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R) correspondant à O ; soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ; alors ρ
˜
G,E
J (M
, δ) =
ρ
˜
G
J (transfert(δ)).
Dans la situation de (2), on peut choisir des γ[y] ∈ D orb,unip (M η[y] (R)) ⊗
Mes(M η[y] (R))
∗ . La preuve est alors la même qu’en [III] 4.1.
Dans la situation de (3), fixons ∈ O
avec M
quasi-déployé. On fixe un
diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) d’espaces ambiants ˜
M
et ˜
M . On a A M = A M
par ellipticité et on suppose d’abord
(4)
A M
= A M .
On fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
et un élément 1 ∈ ˜
M
1 (R)
au-dessus de . Grâce au lemme 4.3(ii), on peut fixer δ ∈ D
st
tr-unip (M
1,,1 (R)) ⊗
Mes(M
(R))
∗ de sorte que
δ = desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
(δ ).
Remarquons qu’on peut identifier un voisinage stablement invariant de 1 dans
M
1,,1 (R) à un tel voisinage de 1 dans le produit C 1 (R) × M
(R). Ainsi
D
st
tr-unip (M
1,,1 (R) ⊗ Mes(M
(R))
∗
s’identifie à D
st
tr-unip (M
(R) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . On a expliqué en 4.1 que les résultats
de la section 5 de [III] valaient, mutatis mutandis, sur notre corps de base réel. On
peut alors reprendre la preuve de [III] 7.1. Dans notre situation quasi-déployée et
à torsion intérieure, les constructions se simplifient. Le groupe M
apparaît comme
le groupe de la donnée endoscopique ¯
M
de cette référence. On n’a plus besoin de
passer aux revêtements simplement connexes des groupes dérivés. On obtient les
formules parallèles
transfert(δ) =
y∈ ˙
Y M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (δ ),
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
Y M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y] ,E
J
( ¯
M
, δ , a))
pour tout a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. D’après 2.4(3) qui est
déjà prouvé pour le groupe G η[y] (puisqu’il n’est pas tordu), on a
ρ
G η[y] ,E
J
( ¯
M
, δ , a) = ρ
G η[y]
J
(transfert y (δ ), a)
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
On va montrer que l’application ρ
˜
G
J ainsi définie vérifie les conditions (1) et
(3) de 2.4, c’est-à-dire
(2) cette définition coïncide avec celle de [II] 3.4 pour γ ∈ D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ;
(3) soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ) avec M
=
M ; soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R) correspondant à O ; soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ; alors ρ
˜
G,E
J (M
, δ) =
ρ
˜
G
J (transfert(δ)).
Dans la situation de (2), on peut choisir des γ[y] ∈ D orb,unip (M η[y] (R)) ⊗
Mes(M η[y] (R))
∗ . La preuve est alors la même qu’en [III] 4.1.
Dans la situation de (3), fixons ∈ O
avec M
quasi-déployé. On fixe un
diagramme (, B
M
, T
, B
M , T, η) d’espaces ambiants ˜
M
et ˜
M . On a A M = A M
par ellipticité et on suppose d’abord
(4)
A M
= A M .
On fixe des données auxiliaires M
1 ,. . .,Δ 1 pour M
et un élément 1 ∈ ˜
M
1 (R)
au-dessus de . Grâce au lemme 4.3(ii), on peut fixer δ ∈ D
st
tr-unip (M
1,,1 (R)) ⊗
Mes(M
(R))
∗ de sorte que
δ = desc
st, ˜
M
1 ,∗
1
(δ ).
Remarquons qu’on peut identifier un voisinage stablement invariant de 1 dans
M
1,,1 (R) à un tel voisinage de 1 dans le produit C 1 (R) × M
(R). Ainsi
D
st
tr-unip (M
1,,1 (R) ⊗ Mes(M
(R))
∗
s’identifie à D
st
tr-unip (M
(R) ⊗ Mes(M
(R))
∗ . On a expliqué en 4.1 que les résultats
de la section 5 de [III] valaient, mutatis mutandis, sur notre corps de base réel. On
peut alors reprendre la preuve de [III] 7.1. Dans notre situation quasi-déployée et
à torsion intérieure, les constructions se simplifient. Le groupe M
apparaît comme
le groupe de la donnée endoscopique ¯
M
de cette référence. On n’a plus besoin de
passer aux revêtements simplement connexes des groupes dérivés. On obtient les
formules parallèles
transfert(δ) =
y∈ ˙
Y M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] ◦ transfert y (δ ),
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
y∈ ˙
Y M (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y] ,E
J
( ¯
M
, δ , a))
pour tout a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. D’après 2.4(3) qui est
déjà prouvé pour le groupe G η[y] (puisqu’il n’est pas tordu), on a
ρ
G η[y] ,E
J
( ¯
M
, δ , a) = ρ
G η[y]
J
(transfert y (δ ), a)