V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
537
On a ainsi vérifié les conditions (1) et (2) de 2.7 et on a vu dans ce paragraphe
qu’elles suffisaient à réaliser le programme de 2.4. Cela valide ce programme sous
l’hypothèse (1).
V.4.6 Définition des termes ρ
˜
G
J et σ
˜
G
J , deuxième cas
On fixe encore η ∈ O avec M η quasi-déployé et on suppose maintenant que
A Mη = A M .
Du système de fonctions B se déduit une fonction B η sur le système de racines
de G η . Pour simplifier, on note encore B cette fonction. L’égalité A M = A Mη
identifie les racines de A Mη dans G η à des racines de A M dans G. Si A G A Gη ,
l’ensemble J
˜
G
˜
M
(B O ) est vide et on n’a rien à démontrer. Supposons A G = A Gη .
Alors les deux ensembles J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
Gη
Mη (B) s’identifient. Les deux espaces U J
possibles associés à un élément J de cet ensemble s’identifient par l’égalité A M =
A Mη . Soient γ ∈ D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Grâce au lemme
4.3(i), on écrit
γ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y]),
avec γ[y] ∈ D tr-unip (M η[y] (R)) ⊗ Mes(M η[y] (R))
∗ . On pose
(1)
ρ
˜
G
J (γ) =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y])).
Les éléments ρ
G η[y]
J
(γ[y]) ne sont définis que modulo l’annulateur Ann
G η[y]
unip de l’application d’induction de M η(y] à G η[y] . Il est clair que desc
˜
M,∗
η[y] envoie cet annulateur
dans Ann
˜
G
O de l’application d’induction de ˜
M à ˜
G. L’élément ρ
˜
G
J (γ) est donc bien
défini dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
La définition ne dépend pas des choix faits. En effet, pour y ∈ ˙
X (η), notons p y
la projection de 4.2(1) relative à η[y]. Puisque desc
˜
M,∗
η[y] ◦p y = desc
˜
M,∗
η[y] , on peut
remplacer desc
˜
M,∗
η[y] par desc
˜
M,∗
η[y] ◦p y dans les égalités précédentes. On a déjà dit
que ρ
G η[y]
J
était équivariant par p y , c’est-à-dire que
p y (ρ
G η[y]
J
(γ[y])) = ρ
G η[y]
J
(p y (γ[y])).
L’élément p y (γ[y]) est uniquement déterminé et appartient à D tr-unip (M η[y] (R)) ⊗
Mes(M η[y] (R))
∗ . Cela prouve que la formule (1) ne dépend pas des choix de γ[y].
De même, changer l’ensemble de représentants ˙
X (η) revient à transporter les distributions γ[y] par des isomorphismes, ce qui ne modifie pas le résultat.
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On a ainsi vérifié les conditions (1) et (2) de 2.7 et on a vu dans ce paragraphe
qu’elles suffisaient à réaliser le programme de 2.4. Cela valide ce programme sous
l’hypothèse (1).
V.4.6 Définition des termes ρ
˜
G
J et σ
˜
G
J , deuxième cas
On fixe encore η ∈ O avec M η quasi-déployé et on suppose maintenant que
A Mη = A M .
Du système de fonctions B se déduit une fonction B η sur le système de racines
de G η . Pour simplifier, on note encore B cette fonction. L’égalité A M = A Mη
identifie les racines de A Mη dans G η à des racines de A M dans G. Si A G A Gη ,
l’ensemble J
˜
G
˜
M
(B O ) est vide et on n’a rien à démontrer. Supposons A G = A Gη .
Alors les deux ensembles J
˜
G
˜
M
(B O ) et J
Gη
Mη (B) s’identifient. Les deux espaces U J
possibles associés à un élément J de cet ensemble s’identifient par l’égalité A M =
A Mη . Soient γ ∈ D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Grâce au lemme
4.3(i), on écrit
γ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (γ[y]),
avec γ[y] ∈ D tr-unip (M η[y] (R)) ⊗ Mes(M η[y] (R))
∗ . On pose
(1)
ρ
˜
G
J (γ) =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
M,∗
η[y] (ρ
G η[y]
J
(γ[y])).
Les éléments ρ
G η[y]
J
(γ[y]) ne sont définis que modulo l’annulateur Ann
G η[y]
unip de l’application d’induction de M η(y] à G η[y] . Il est clair que desc
˜
M,∗
η[y] envoie cet annulateur
dans Ann
˜
G
O de l’application d’induction de ˜
M à ˜
G. L’élément ρ
˜
G
J (γ) est donc bien
défini dans
U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
La définition ne dépend pas des choix faits. En effet, pour y ∈ ˙
X (η), notons p y
la projection de 4.2(1) relative à η[y]. Puisque desc
˜
M,∗
η[y] ◦p y = desc
˜
M,∗
η[y] , on peut
remplacer desc
˜
M,∗
η[y] par desc
˜
M,∗
η[y] ◦p y dans les égalités précédentes. On a déjà dit
que ρ
G η[y]
J
était équivariant par p y , c’est-à-dire que
p y (ρ
G η[y]
J
(γ[y])) = ρ
G η[y]
J
(p y (γ[y])).
L’élément p y (γ[y]) est uniquement déterminé et appartient à D tr-unip (M η[y] (R)) ⊗
Mes(M η[y] (R))
∗ . Cela prouve que la formule (1) ne dépend pas des choix de γ[y].
De même, changer l’ensemble de représentants ˙
X (η) revient à transporter les distributions γ[y] par des isomorphismes, ce qui ne modifie pas le résultat.