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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
La formule (2) définit une application linéaire
ρ
˜
G
J : D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
On va prouver qu’elle vérifie les conditions (1) et (3) de 2.4, c’est-à-dire :
(4) cette définition coïncide avec celle de [II] 3.4 pour γ ∈ D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ;
(5) soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ) avec M
=
M ; soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R) correspondant à O ; soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ; alors ρ
˜
G,E
J (M
, δ) =
ρ
˜
G
J (transfert(δ)).
Dans la situation de (4), on peut choisir γ ˜
R ∈ D orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ .
L’égalité cherchée résulte alors du lemme [II] 3.10. Dans la situation de (5), on
voit en reprenant la preuve du lemme 4.4 que l’on peut introduire une donnée
endoscopique R
de (R, ˜
R), qui est une donnée de Levi de M
, une classe de
conjugaison stable O
˜
R dans ˜
R
(R) correspondant à O
et à O ˜
R , et un élément
δ R ∈ D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ), de sorte que δ = (δ R )
M
. D’après l’analogue de la relation
2.5(8) (qui est valide d’après l’hypothèse M
= M ), on a alors
(6)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a)
˜
M .
En utilisant les hypothèses de récurrence, on a
ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a) = ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)
où γ ˜
R = transfert(δ R ). Mais γ ˜
R est un élément de D tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ tel
que (γ ˜
R )
˜
M = transfert(δ). Alors le membre de droite de (6) coïncide avec celui de
(2) pour γ = transfert(δ). Cela prouve (5).
On définit une application linéaire
σ
˜
G
J : D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O
par la formule habituelle 2.4(13). On doit prouver qu’elle prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st, ˜
G
O . Soit δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
D’après le lemme 4.4, on peut fixer δ ˜
R ∈ D
st
tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ de sorte
que δ = (δ ˜
R )
˜
M . A partir des relations d’induction déjà connues, en particulier la
formule (2), on prouve formellement que
(7)
σ
˜
G
J (δ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)σ
˜
L
J (δ ˜
R , a)
˜
M
pour a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Les distributions du membre
de droite sont stables modulo Ann
˜
G
O , d’où l’assertion cherchée.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
La formule (2) définit une application linéaire
ρ
˜
G
J : D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O .
On va prouver qu’elle vérifie les conditions (1) et (3) de 2.4, c’est-à-dire :
(4) cette définition coïncide avec celle de [II] 3.4 pour γ ∈ D orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ ;
(5) soit M
une donnée endoscopique elliptique et relevante de (M, ˜
M ) avec M
=
M ; soit O
une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
M
(R) correspondant à O ; soit δ ∈ D
st
tr-orb (M
, O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ; alors ρ
˜
G,E
J (M
, δ) =
ρ
˜
G
J (transfert(δ)).
Dans la situation de (4), on peut choisir γ ˜
R ∈ D orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ .
L’égalité cherchée résulte alors du lemme [II] 3.10. Dans la situation de (5), on
voit en reprenant la preuve du lemme 4.4 que l’on peut introduire une donnée
endoscopique R
de (R, ˜
R), qui est une donnée de Levi de M
, une classe de
conjugaison stable O
˜
R dans ˜
R
(R) correspondant à O
et à O ˜
R , et un élément
δ R ∈ D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ), de sorte que δ = (δ R )
M
. D’après l’analogue de la relation
2.5(8) (qui est valide d’après l’hypothèse M
= M ), on a alors
(6)
ρ
˜
G,E
J (M
, δ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a)
˜
M .
En utilisant les hypothèses de récurrence, on a
ρ
˜
L,E
J (R
, δ R , a) = ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)
où γ ˜
R = transfert(δ R ). Mais γ ˜
R est un élément de D tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ tel
que (γ ˜
R )
˜
M = transfert(δ). Alors le membre de droite de (6) coïncide avec celui de
(2) pour γ = transfert(δ). Cela prouve (5).
On définit une application linéaire
σ
˜
G
J : D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ U J ⊗ (D g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
˜
G
O
par la formule habituelle 2.4(13). On doit prouver qu’elle prend ses valeurs dans
U J ⊗ (D
st
g´ eom (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st, ˜
G
O . Soit δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
D’après le lemme 4.4, on peut fixer δ ˜
R ∈ D
st
tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ de sorte
que δ = (δ ˜
R )
˜
M . A partir des relations d’induction déjà connues, en particulier la
formule (2), on prouve formellement que
(7)
σ
˜
G
J (δ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)σ
˜
L
J (δ ˜
R , a)
˜
M
pour a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Les distributions du membre
de droite sont stables modulo Ann
˜
G
O , d’où l’assertion cherchée.