V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
535
n ∈ G(R) tels que ad n conserve ˜
M et O. Il agit via son quotient fini N/(N ∩M (R))
sur D g´ eom (O). Cette action conserve (par transport de structure) les sous-espaces
D tr-orb (O) et D
st
g´ eom (O). Evidemment, l’induction est insensible à l’action de ce
groupe, c’est-à-dire que (ad n (γ 1 ))
˜
G = γ
˜
G
1 pour tout γ 1 ∈ D g´ eom (O) et tout n ∈ N .
On peut donc remplacer les éléments γ ˜
M et δ ˜
M par leur moyenne sous l’action
de N sans changer les propriétés précédentes. Autrement dit, on peut supposer
γ ˜
M et δ ˜
M invariantes par N . D’après le lemme [I] 5.12(iii), l’induction induit un
isomorphisme de l’espace des invariants D g´ eom (O)
N sur D g´ eom (O
˜
G ). Cela entraîne
γ ˜
M = δ ˜
M . Cet élément appartient donc à D
st
tr-orb (O). Cela prouve que δ est induit
d’un élément de cet espace, ce qui démontre la seconde assertion du lemme.
V.4.5 Définition des termes ρ
˜
G
J et σ
˜
G
J , premier cas
On fixe pour la suite de la section un système de fonctions B comme en [II] 1.9.
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe de conjugaison stable semi-simple
dans ˜
M (R). On note O
˜
G la classe de conjugaison stable dans ˜
G(R) qui la contient.
Fixons η ∈ O avec M η quasi-déployé, introduisons le sous-espace de Levi ˜
R de ˜
M
tel que A R = A Mη . On note O ˜
R la classe de conjugaison stable de η dans ˜
R(R).
On suppose dans ce paragraphe
(1)
˜
R = ˜
M .
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Pour γ ∈ D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ , fixons grâce au lemme 4.4
(appliqué avec ˜
G et ˜
M remplacés par ˜
M et ˜
R) un élément γ ˜
R ∈ D tr-orb (O ˜
R ) ⊗
Mes(R(R))
∗ tel que γ = (γ ˜
R )
˜
M . Pour a ∈ A M (R) en position générale et proche
de 1, posons
(2)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)
˜
M .
Tous les termes sont définis par récurrence, en vertu de l’hypothèse (1). On a
(3) ce terme ne dépend pas du choix de γ ˜
R .
Preuve. On a introduit un groupe N ⊂ M (R) dans la preuve du lemme 4.4. Ce
groupe agit sur D tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ et aussi sur L( ˜
R). On vérifie que, pour
n ∈ N , ad n permute les espaces de Levi ˜
L tels que d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L) = 0 et J ∈ J
˜
L
˜
R
(B O ˜
R
).
Par transport de structure, il est plus ou moins clair que
ρ
adn( ˜
L)
J
(ad n (γ ˜
R ), a) = ad n (ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)).
Puisque l’induction de ˜
R à ˜
M est insensible à la composition avec ad n , on obtient
que remplacer γ ˜
R par ad n (γ ˜
R ) ne change pas le membre de droite de (2). On peut
alors aussi bien remplacer γ ˜
R par sa projection naturelle sur l’espace des invariants par N . Mais, d’après le lemme [I] 5.12(iii), cette projection est uniquement
déterminée par γ. L’assertion (3) s’ensuit.
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n ∈ G(R) tels que ad n conserve ˜
M et O. Il agit via son quotient fini N/(N ∩M (R))
sur D g´ eom (O). Cette action conserve (par transport de structure) les sous-espaces
D tr-orb (O) et D
st
g´ eom (O). Evidemment, l’induction est insensible à l’action de ce
groupe, c’est-à-dire que (ad n (γ 1 ))
˜
G = γ
˜
G
1 pour tout γ 1 ∈ D g´ eom (O) et tout n ∈ N .
On peut donc remplacer les éléments γ ˜
M et δ ˜
M par leur moyenne sous l’action
de N sans changer les propriétés précédentes. Autrement dit, on peut supposer
γ ˜
M et δ ˜
M invariantes par N . D’après le lemme [I] 5.12(iii), l’induction induit un
isomorphisme de l’espace des invariants D g´ eom (O)
N sur D g´ eom (O
˜
G ). Cela entraîne
γ ˜
M = δ ˜
M . Cet élément appartient donc à D
st
tr-orb (O). Cela prouve que δ est induit
d’un élément de cet espace, ce qui démontre la seconde assertion du lemme.
V.4.5 Définition des termes ρ
˜
G
J et σ
˜
G
J , premier cas
On fixe pour la suite de la section un système de fonctions B comme en [II] 1.9.
Soient ˜
M un espace de Levi de ˜
G et O une classe de conjugaison stable semi-simple
dans ˜
M (R). On note O
˜
G la classe de conjugaison stable dans ˜
G(R) qui la contient.
Fixons η ∈ O avec M η quasi-déployé, introduisons le sous-espace de Levi ˜
R de ˜
M
tel que A R = A Mη . On note O ˜
R la classe de conjugaison stable de η dans ˜
R(R).
On suppose dans ce paragraphe
(1)
˜
R = ˜
M .
Soit J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ). Pour γ ∈ D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ , fixons grâce au lemme 4.4
(appliqué avec ˜
G et ˜
M remplacés par ˜
M et ˜
R) un élément γ ˜
R ∈ D tr-orb (O ˜
R ) ⊗
Mes(R(R))
∗ tel que γ = (γ ˜
R )
˜
M . Pour a ∈ A M (R) en position générale et proche
de 1, posons
(2)
ρ
˜
G
J (γ, a) =
˜
L∈L( ˜
R);J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)
˜
M .
Tous les termes sont définis par récurrence, en vertu de l’hypothèse (1). On a
(3) ce terme ne dépend pas du choix de γ ˜
R .
Preuve. On a introduit un groupe N ⊂ M (R) dans la preuve du lemme 4.4. Ce
groupe agit sur D tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ et aussi sur L( ˜
R). On vérifie que, pour
n ∈ N , ad n permute les espaces de Levi ˜
L tels que d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L) = 0 et J ∈ J
˜
L
˜
R
(B O ˜
R
).
Par transport de structure, il est plus ou moins clair que
ρ
adn( ˜
L)
J
(ad n (γ ˜
R ), a) = ad n (ρ
˜
L
J (γ ˜
R , a)).
Puisque l’induction de ˜
R à ˜
M est insensible à la composition avec ad n , on obtient
que remplacer γ ˜
R par ad n (γ ˜
R ) ne change pas le membre de droite de (2). On peut
alors aussi bien remplacer γ ˜
R par sa projection naturelle sur l’espace des invariants par N . Mais, d’après le lemme [I] 5.12(iii), cette projection est uniquement
déterminée par γ. L’assertion (3) s’ensuit.