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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
un espace de Levi de ˜
G, on a η ∈ ˜
M (R) et M η = G η . On note O la classe de
conjugaison stable de η dans ˜
M (R).
Lemme. Les applications d’induction
D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D tr-orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗
et
D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D
st
tr-orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗
sont surjectives.
Preuve. On oublie les espaces de mesures. L’application
(1)
M η \Y
M (η)/M (R) → G η \Y(η)/G(R)
est toujours injective et l’hypothèse M η = G η entraîne qu’elle est surjective,
cf. [I] lemme 5.12. Un système de représentants ˙
Y
M (η) du premier ensemble de
doubles classes est donc aussi un tel système pour le second ensemble. Un élément γ ∈ D orb (O
˜
G ) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales dans ˜
G(R)
associées à des éléments uη[y] où y ∈ ˙
Y
M (η) et u est un élément unipotent de
G η[y] (R) = M η[y] (R). Il est induit de la même combinaison linéaire d’intégrales
orbitales dans ˜
M (R) associées aux mêmes éléments. Cette combinaison linéaire
appartient à D orb (O). Soit maintenant G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique
elliptique et relevante de (G, ˜
G) avec G
= G. Soit γ ∈ D tr-orb (O) tel qu’il existe
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) de sorte que γ = transfert(δ). On veut prouver que γ est induit
d’un élément de D tr-orb (O
˜
M ). Par linéarité, on peut fixer une classe de conjugaison stable semi-simple O
˜
G
dans ˜
G
(R) et supposer δ ∈ D tr-orb (G
, O
˜
G
). On fixe
∈ O
˜
G
avec G
quasi-déployé et on fixe un diagramme (, B
, T
, B, T, η). Notons
˜
R
le commutant de A G dans ˜
G
. Puisque (G, ˜
G) est quasi-déployé et à torsion
intérieure, ˜
R
détermine un espace de Levi ˜
R de ˜
G de sorte que T ⊂ R et que
l’isomorphisme T
T se restreigne en un isomorphisme A R A R . Alors ˜
R
est
l’espace d’une donnée endoscopique elliptique R
de (R, ˜
R). L’élément η appartient
à ˜
R(R). On a les relations A M = A Gη ⊂ A G = A R = A R , donc ˜
R ⊂ ˜
M . Notons
O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
R
(R). En appliquant par récurrence
la deuxième assertion du lemme (adaptée à la situation endoscopique), il existe
δ R ∈ D
st
tr-orb (R
, O
) tel que δ = (δ R )
G
. Posons γ ˜
R = transfert(δ R ). Cette distribution appartient à D tr-orb (O ˜
R ), où O ˜
R est la classe de conjugaison stable de η
dans ˜
R(R). Par commutation du transfert à l’induction, γ = (γ ˜
R )
˜
G = (γ ˜
M )
˜
G , où
γ ˜
M = (γ ˜
R )
˜
M . Puisque γ ˜
M ∈ D tr-orb (O), cela démontre l’assertion cherchée, d’où
la première assertion du lemme.
Soit maintenant δ ∈ D
st
tr-orb (O
˜
G ). D’après ce que l’on vient de prouver, il
existe γ ˜
M ∈ D tr-orb (O) tel que δ = (γ ˜
M )
˜
G . D’après le lemme [I] 5.12(iii), il existe
aussi δ ˜
M ∈ D
st
g´ eom (O) tel que δ = (δ ˜
M )
˜
G . Introduisons le groupe N des éléments
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
un espace de Levi de ˜
G, on a η ∈ ˜
M (R) et M η = G η . On note O la classe de
conjugaison stable de η dans ˜
M (R).
Lemme. Les applications d’induction
D tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D tr-orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗
et
D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗
→ D
st
tr-orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗
sont surjectives.
Preuve. On oublie les espaces de mesures. L’application
(1)
M η \Y
M (η)/M (R) → G η \Y(η)/G(R)
est toujours injective et l’hypothèse M η = G η entraîne qu’elle est surjective,
cf. [I] lemme 5.12. Un système de représentants ˙
Y
M (η) du premier ensemble de
doubles classes est donc aussi un tel système pour le second ensemble. Un élément γ ∈ D orb (O
˜
G ) est combinaison linéaire d’intégrales orbitales dans ˜
G(R)
associées à des éléments uη[y] où y ∈ ˙
Y
M (η) et u est un élément unipotent de
G η[y] (R) = M η[y] (R). Il est induit de la même combinaison linéaire d’intégrales
orbitales dans ˜
M (R) associées aux mêmes éléments. Cette combinaison linéaire
appartient à D orb (O). Soit maintenant G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique
elliptique et relevante de (G, ˜
G) avec G
= G. Soit γ ∈ D tr-orb (O) tel qu’il existe
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) de sorte que γ = transfert(δ). On veut prouver que γ est induit
d’un élément de D tr-orb (O
˜
M ). Par linéarité, on peut fixer une classe de conjugaison stable semi-simple O
˜
G
dans ˜
G
(R) et supposer δ ∈ D tr-orb (G
, O
˜
G
). On fixe
∈ O
˜
G
avec G
quasi-déployé et on fixe un diagramme (, B
, T
, B, T, η). Notons
˜
R
le commutant de A G dans ˜
G
. Puisque (G, ˜
G) est quasi-déployé et à torsion
intérieure, ˜
R
détermine un espace de Levi ˜
R de ˜
G de sorte que T ⊂ R et que
l’isomorphisme T
T se restreigne en un isomorphisme A R A R . Alors ˜
R
est
l’espace d’une donnée endoscopique elliptique R
de (R, ˜
R). L’élément η appartient
à ˜
R(R). On a les relations A M = A Gη ⊂ A G = A R = A R , donc ˜
R ⊂ ˜
M . Notons
O
la classe de conjugaison stable de dans ˜
R
(R). En appliquant par récurrence
la deuxième assertion du lemme (adaptée à la situation endoscopique), il existe
δ R ∈ D
st
tr-orb (R
, O
) tel que δ = (δ R )
G
. Posons γ ˜
R = transfert(δ R ). Cette distribution appartient à D tr-orb (O ˜
R ), où O ˜
R est la classe de conjugaison stable de η
dans ˜
R(R). Par commutation du transfert à l’induction, γ = (γ ˜
R )
˜
G = (γ ˜
M )
˜
G , où
γ ˜
M = (γ ˜
R )
˜
M . Puisque γ ˜
M ∈ D tr-orb (O), cela démontre l’assertion cherchée, d’où
la première assertion du lemme.
Soit maintenant δ ∈ D
st
tr-orb (O
˜
G ). D’après ce que l’on vient de prouver, il
existe γ ˜
M ∈ D tr-orb (O) tel que δ = (γ ˜
M )
˜
G . D’après le lemme [I] 5.12(iii), il existe
aussi δ ˜
M ∈ D
st
g´ eom (O) tel que δ = (δ ˜
M )
˜
G . Introduisons le groupe N des éléments