V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
533
avec γ[y] ∈ D tr-unip (G η[y] (R)) pour tout y. Appliquons 4.2(1) en remplaçant η par
η[y]. On note p y la projection qui intervient dans cette relation. Cette application
consiste à moyenner sur un groupe d’automorphismes de G η[y] . Comme on l’a déjà
dit, l’espace D tr-unip (G η[y] (R)) est invariant par automorphismes, donc aussi par
p y . On peut remplacer γ[y] par p y (γ[y]), qui appartient encore à D tr-unip (G η[y] (R)).
D’autre part, d’après 4.2(2), on peut écrire
(3)
δ = desc
st, ˜
G,∗
η
(δ η ),
avec δ η ∈ D
st
unip (G η (R))
Ξ
Γ R
η . Appliquons 4.2(3). On obtient
(4)
δ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ
[y]),
où
γ
[y] =
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η[y]
transfert y (δ η ).
Fixons y
∈ ˙
Y(η). Pour g ∈ Z G (η[y
], R), on vérifie que
ad g ◦ transfert y = transfert y ◦ ad y g(y ) −1 .
On a y
g(y
)
−1
∈ Z G (η) et on vérifie que l’image de cet élément dans Ξ η est fixe par
Γ R . Donc δ η est fixe par ad y g(y ) −1 , donc transfert y (δ η ) est fixe par Z G (η[y
], R).
Il en résulte que, pour tout y ∈ ˙
X (η), γ
[y] est invariant par Z G (η[y], R). Puisque
desc
˜
G,∗
η[y] est injectif sur les distributions fixées par ce groupe, les égalités (2) et
(4) entraînent que γ[y] = γ
[y] pour tout y. Appliquons cela à y = 1 (on peut
supposer que 1 appartient à notre système de représentants ˙
X (η)). Cela entraîne
γ
[1] ∈ D tr-unip (G η (R)), c’est-à-dire
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η
transfert y (δ η ) ∈ D tr-unip (G η (R)).
Un élément y
∈ Y(η) tel que η[y
] = η appartient à Z G (η) et son image dans Ξ η
est fixe par Γ R . On voit que transfert y n’est autre que l’action de l’élément de Ξ
Γ R
η
ainsi défini. Puisque δ η est fixe par cette action, on obtient transfert y (δ η ) = δ η .
Le membre de gauche de la relation précédente n’est autre que δ η multiplié par
le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. Donc δ η ∈ D tr-unip (G η (R)).
Puisque c’est une distribution stable, on a δ η ∈ D
st
tr-unip (G η (R)). Alors l’assertion
(ii) résulte de (3).
V.4.4 Un résultat d’induction
Soit O
˜
G une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(R). Fixons η ∈ O
˜
G
tel que G η soit quasi-déployé. Notons ˜
M le commutant de A Gη dans ˜
M . C’est
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avec γ[y] ∈ D tr-unip (G η[y] (R)) pour tout y. Appliquons 4.2(1) en remplaçant η par
η[y]. On note p y la projection qui intervient dans cette relation. Cette application
consiste à moyenner sur un groupe d’automorphismes de G η[y] . Comme on l’a déjà
dit, l’espace D tr-unip (G η[y] (R)) est invariant par automorphismes, donc aussi par
p y . On peut remplacer γ[y] par p y (γ[y]), qui appartient encore à D tr-unip (G η[y] (R)).
D’autre part, d’après 4.2(2), on peut écrire
(3)
δ = desc
st, ˜
G,∗
η
(δ η ),
avec δ η ∈ D
st
unip (G η (R))
Ξ
Γ R
η . Appliquons 4.2(3). On obtient
(4)
δ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ
[y]),
où
γ
[y] =
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η[y]
transfert y (δ η ).
Fixons y
∈ ˙
Y(η). Pour g ∈ Z G (η[y
], R), on vérifie que
ad g ◦ transfert y = transfert y ◦ ad y g(y ) −1 .
On a y
g(y
)
−1
∈ Z G (η) et on vérifie que l’image de cet élément dans Ξ η est fixe par
Γ R . Donc δ η est fixe par ad y g(y ) −1 , donc transfert y (δ η ) est fixe par Z G (η[y
], R).
Il en résulte que, pour tout y ∈ ˙
X (η), γ
[y] est invariant par Z G (η[y], R). Puisque
desc
˜
G,∗
η[y] est injectif sur les distributions fixées par ce groupe, les égalités (2) et
(4) entraînent que γ[y] = γ
[y] pour tout y. Appliquons cela à y = 1 (on peut
supposer que 1 appartient à notre système de représentants ˙
X (η)). Cela entraîne
γ
[1] ∈ D tr-unip (G η (R)), c’est-à-dire
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η
transfert y (δ η ) ∈ D tr-unip (G η (R)).
Un élément y
∈ Y(η) tel que η[y
] = η appartient à Z G (η) et son image dans Ξ η
est fixe par Γ R . On voit que transfert y n’est autre que l’action de l’élément de Ξ
Γ R
η
ainsi défini. Puisque δ η est fixe par cette action, on obtient transfert y (δ η ) = δ η .
Le membre de gauche de la relation précédente n’est autre que δ η multiplié par
le nombre d’éléments de l’ensemble de sommation. Donc δ η ∈ D tr-unip (G η (R)).
Puisque c’est une distribution stable, on a δ η ∈ D
st
tr-unip (G η (R)). Alors l’assertion
(ii) résulte de (3).
V.4.4 Un résultat d’induction
Soit O
˜
G une classe de conjugaison stable semi-simple dans ˜
G(R). Fixons η ∈ O
˜
G
tel que G η soit quasi-déployé. Notons ˜
M le commutant de A Gη dans ˜
M . C’est