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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
tel que δ = desc
st, ˜
G
1 ,∗
1
(δ 1 ). Appliquons le lemme 3.3(ii) : on peut fixer δ SC ∈
D
st
tr-unip (G
,SC (R)) tel que δ 1 = ι
∗
G
,SC ,G
1,, 1
(δ SC ). Alors γ est calculé par la formule [III] 5.2(7). Cette formule se simplifie dans notre situation quasi-déployée et
à torsion intérieure. Les constantes c(y) valent 1. Surtout, le groupe ¯
G
SC , qui en
général est en situation d’endoscopie non standard avec G
,SC , est ici égal à ce
groupe. On obtient le résultat suivant. Pour tout y ∈ ˙
Y(η), on note δ[y] l’image
de ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ) par l’application transfert y à G η[y],SC (R), avec la convention que
ce transfert est nul si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC . Alors
(1)
γ =
y∈ ˙
Y(η)
d(y) desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]).
Le lemme 3.3(ii) assure que ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ) ∈ D
st
tr-unip ( ¯
G
(R)). Alors
δ[y] ∈ D tr-unip (G η[y],SC (R)).
Mais, parce que G η[y] n’est pas quasi-déployé, le lemme 3.3 n’assure pas que
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) appartient à D tr-unip (G η[y] (R)). Pour le voir, il faut utiliser encore une simplification due à notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure.
Non seulement G
,SC s’identifie au groupe ¯
G
SC , mais G
lui-même s’identifie au
groupe d’une donnée endoscopique de ¯
G, ou encore de G η[y] . Notons ¯
G
cette donnée. La donnée précédente ¯
G
est déduite de ¯
G
par la construction de la preuve
du lemme 3.3. Posons δ
= ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ). On peut considérer que c’est un élément
de D
st
tr-unip ( ¯
G
). On a alors
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) = ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (δ
) = transfert y ◦ι
∗
¯
G , ¯
G (δ
).
Parce que G
est quasi-déployé, le lemme 3.3(ii) assure que ι
∗
¯
G , ¯
G (δ
) appartient à
D
st
tr-unip ( ¯
G
). Alors ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) appartient à D tr-unip (G η[y] (R)). La formule
(1) se récrit
γ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ[y]),
où
γ[y] =
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η[y]
d(y
)ι
∗
G η[y ],SC ,G η[y ]
(δ[y
]).
Cela assure que γ appartient à l’espace indiqué en (i) et cela achève la preuve de
cette assertion.
Soit maintenant δ ∈ D
st
tr-orb (O). D’après ce que l’on vient de prouver, on
peut écrire
(2)
δ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ[y]),
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
tel que δ = desc
st, ˜
G
1 ,∗
1
(δ 1 ). Appliquons le lemme 3.3(ii) : on peut fixer δ SC ∈
D
st
tr-unip (G
,SC (R)) tel que δ 1 = ι
∗
G
,SC ,G
1,, 1
(δ SC ). Alors γ est calculé par la formule [III] 5.2(7). Cette formule se simplifie dans notre situation quasi-déployée et
à torsion intérieure. Les constantes c(y) valent 1. Surtout, le groupe ¯
G
SC , qui en
général est en situation d’endoscopie non standard avec G
,SC , est ici égal à ce
groupe. On obtient le résultat suivant. Pour tout y ∈ ˙
Y(η), on note δ[y] l’image
de ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ) par l’application transfert y à G η[y],SC (R), avec la convention que
ce transfert est nul si ¯
G
n’est pas relevante pour G η[y],SC . Alors
(1)
γ =
y∈ ˙
Y(η)
d(y) desc
˜
G,∗
η[y] ◦ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]).
Le lemme 3.3(ii) assure que ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ) ∈ D
st
tr-unip ( ¯
G
(R)). Alors
δ[y] ∈ D tr-unip (G η[y],SC (R)).
Mais, parce que G η[y] n’est pas quasi-déployé, le lemme 3.3 n’assure pas que
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) appartient à D tr-unip (G η[y] (R)). Pour le voir, il faut utiliser encore une simplification due à notre situation quasi-déployée et à torsion intérieure.
Non seulement G
,SC s’identifie au groupe ¯
G
SC , mais G
lui-même s’identifie au
groupe d’une donnée endoscopique de ¯
G, ou encore de G η[y] . Notons ¯
G
cette donnée. La donnée précédente ¯
G
est déduite de ¯
G
par la construction de la preuve
du lemme 3.3. Posons δ
= ι
∗
¯
G
SC , ¯
G (δ SC ). On peut considérer que c’est un élément
de D
st
tr-unip ( ¯
G
). On a alors
ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) = ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
◦ transfert y (δ
) = transfert y ◦ι
∗
¯
G , ¯
G (δ
).
Parce que G
est quasi-déployé, le lemme 3.3(ii) assure que ι
∗
¯
G , ¯
G (δ
) appartient à
D
st
tr-unip ( ¯
G
). Alors ι
∗
G η[y],SC ,G η[y]
(δ[y]) appartient à D tr-unip (G η[y] (R)). La formule
(1) se récrit
γ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ[y]),
où
γ[y] =
y ∈ ˙
Y(η);η[y ]=η[y]
d(y
)ι
∗
G η[y ],SC ,G η[y ]
(δ[y
]).
Cela assure que γ appartient à l’espace indiqué en (i) et cela achève la preuve de
cette assertion.
Soit maintenant δ ∈ D
st
tr-orb (O). D’après ce que l’on vient de prouver, on
peut écrire
(2)
δ =
y∈ ˙
X (η)
desc
˜
G,∗
η[y] (γ[y]),