V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
531
avec des notations similaires à celles ci-dessus. Notons Y(η) l’ensemble des y ∈ G
tels que yσ(y)
−1
∈ G η pour tout σ ∈ Γ R . Fixons un ensemble de représentants
˙
Y(η) de l’ensemble de doubles classes G η \Y(η)/G(R). Pour y ∈ Y(η), on pose
η[y] = y
−1 ηy. L’application ad y se restreint en un torseur intérieur de G η[y] sur sa
forme quasi-déployée G η , grâce auquel on peut transférer une distribution stable
sur G η (R) en une distribution sur G η[y] (R). On note transfert y cette application.
Les applications desc
˜
G,∗
η
et desc
st, ˜
G,∗
η
sont reliées par l’égalité
(3)
desc
st, ˜
G,∗
η
=
y∈ ˙
Y(η)
desc
˜
G,∗
η[y] ◦ transfert y ,
cf. [I] 5.10.
V.4.3 Localisation des espaces D tr-orb (O)
Soit O une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R). Fixons
η ∈ O tel que G η soit quasi-déployé. On introduit un ensemble ˙
Y(η) comme dans
le paragraphe précédent. En général, l’ensemble {η[y]; y ∈ ˙
Y(η)} n’est pas un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans O. Il est plus
gros. On peut toutefois supposer que si η[y] est conjugué à η[y
], alors ces deux
points sont égaux. On peut alors fixer un sous-ensemble ˙
X (η) ⊂ ˙
Y(η) de sorte que
{η[y]; y ∈ ˙
X (η)} soit un ensemble de représentants des classes de conjugaison par
G(R) dans O.
Lemme.
(i) L’espace D tr-orb (O) ⊗ Mes(G(R))
∗ est contenu dans la somme sur y ∈ ˙
X (η)
des images par desc
˜
G,∗
η[y] de D tr-unip (G η[y] (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ .
(ii) L’espace D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(G(R))
∗ est contenu dans l’image par desc
st, ˜
G,∗
η
de
l’espace D
st
tr-unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ .
Preuve. Oublions les espaces de mesures. Considérons (i).
Il est clair que D orb (O) est contenu dans la somme sur y ∈ ˙
X (η) des images
par desc
˜
G,∗
η[y] de D orb,unip (G η[y] (R)). Considérons une donnée endoscopique G
=
(G
, G
, s) de (G, ˜
G) avec G
= G. Soit γ ∈ D tr-orb (O), supposons qu’il existe
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) tel que γ = transfert(δ). On veut prouver que γ appartient à
la somme des images par desc
˜
G,∗
η[y] de D tr-unip (G η[y] (R)). Par linéarité, on peut
fixer une classe de conjugaison stable O
dans G
(R) qui se transfère en O et
supposer que δ ∈ D
st
tr-orb (G
, O
). On fixe ∈ O
tel que G
soit quasi-déployé.
On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
et un point 1 ∈ G
1 (R) audessus de . On applique (ii) par récurrence (plus exactement, on applique une
forme de (ii) adaptée comme toujours à la situation des données auxiliaires ; on
laisse cette adaptation au lecteur). On peut donc fixer δ 1 ∈ D
st
tr-unip (G
1,,1 (R))
531
avec des notations similaires à celles ci-dessus. Notons Y(η) l’ensemble des y ∈ G
tels que yσ(y)
−1
∈ G η pour tout σ ∈ Γ R . Fixons un ensemble de représentants
˙
Y(η) de l’ensemble de doubles classes G η \Y(η)/G(R). Pour y ∈ Y(η), on pose
η[y] = y
−1 ηy. L’application ad y se restreint en un torseur intérieur de G η[y] sur sa
forme quasi-déployée G η , grâce auquel on peut transférer une distribution stable
sur G η (R) en une distribution sur G η[y] (R). On note transfert y cette application.
Les applications desc
˜
G,∗
η
et desc
st, ˜
G,∗
η
sont reliées par l’égalité
(3)
desc
st, ˜
G,∗
η
=
y∈ ˙
Y(η)
desc
˜
G,∗
η[y] ◦ transfert y ,
cf. [I] 5.10.
V.4.3 Localisation des espaces D tr-orb (O)
Soit O une classe de conjugaison stable d’éléments semi-simples dans ˜
G(R). Fixons
η ∈ O tel que G η soit quasi-déployé. On introduit un ensemble ˙
Y(η) comme dans
le paragraphe précédent. En général, l’ensemble {η[y]; y ∈ ˙
Y(η)} n’est pas un
ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(R) dans O. Il est plus
gros. On peut toutefois supposer que si η[y] est conjugué à η[y
], alors ces deux
points sont égaux. On peut alors fixer un sous-ensemble ˙
X (η) ⊂ ˙
Y(η) de sorte que
{η[y]; y ∈ ˙
X (η)} soit un ensemble de représentants des classes de conjugaison par
G(R) dans O.
Lemme.
(i) L’espace D tr-orb (O) ⊗ Mes(G(R))
∗ est contenu dans la somme sur y ∈ ˙
X (η)
des images par desc
˜
G,∗
η[y] de D tr-unip (G η[y] (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ .
(ii) L’espace D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(G(R))
∗ est contenu dans l’image par desc
st, ˜
G,∗
η
de
l’espace D
st
tr-unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ .
Preuve. Oublions les espaces de mesures. Considérons (i).
Il est clair que D orb (O) est contenu dans la somme sur y ∈ ˙
X (η) des images
par desc
˜
G,∗
η[y] de D orb,unip (G η[y] (R)). Considérons une donnée endoscopique G
=
(G
, G
, s) de (G, ˜
G) avec G
= G. Soit γ ∈ D tr-orb (O), supposons qu’il existe
δ ∈ D
st
tr-orb (G
) tel que γ = transfert(δ). On veut prouver que γ appartient à
la somme des images par desc
˜
G,∗
η[y] de D tr-unip (G η[y] (R)). Par linéarité, on peut
fixer une classe de conjugaison stable O
dans G
(R) qui se transfère en O et
supposer que δ ∈ D
st
tr-orb (G
, O
). On fixe ∈ O
tel que G
soit quasi-déployé.
On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 pour G
et un point 1 ∈ G
1 (R) audessus de . On applique (ii) par récurrence (plus exactement, on applique une
forme de (ii) adaptée comme toujours à la situation des données auxiliaires ; on
laisse cette adaptation au lecteur). On peut donc fixer δ 1 ∈ D
st
tr-unip (G
1,,1 (R))