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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
une formule de produit pour déduire la valeur de Δ(T, T ) de valeurs analogues
dans une situation non ramifiée. La même méthode s’applique et ramène l’égalité
à prouver à l’égalité analogue dans une situation non ramifiée sur un corps nonarchimédien. La preuve dans ce cas a été faite dans [79]. Cela prouve (1).
Le facteur exponentiel qui intervient en (1) affecte la description du transfert
des distributions si celles-ci font intervenir des dérivations dans la direction centrale
de G
. Mais ce n’est pas le cas si on se limite aux distributions provenant de G
,SC
via l’application ι
∗
G
,SC ,G de la section 3. En particulier, la relation [III] 5.2(7)
reste valide.
V.4.2 Localisation
Dans la suite de la section, on considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à
torsion intérieure. Soit η un élément semi-simple de ˜
G(R). Conformément à la
convention de [I] 5.10, nous notons
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗
l’application linéaire déduite de la descente d’Harish-Chandra. Comme on l’a dit
dans cette référence, elle n’est définie que sur les éléments de D g´ eom (G η (R)) ⊗
Mes(G η (R))
∗ dont le support est assez voisin de l’origine. Le groupe Z G (η; R)
agit naturellement dans D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ via son quotient fini Z G (η :
R)/G η (R). Notons O la classe de conjugaison de η par G(R). Alors la restriction
de desc
˜
G,∗
η
à D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ se factorise en
(1)
D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ p
→ (D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ )
ZG(η;R)
desc
˜
G,∗
η
D g´ eom (O) ⊗ Mes(G(R))
∗
⊂ D g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,
où l’exposant Z G (η; R) désigne selon l’usage le sous-espace des invariants et où p
est la projection naturelle sur ce sous-espace.
Supposons G η quasi-déployé. On a de même une application linéaire
desc
st, ˜
G,∗
η
: D
st
g´ eom (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗
→ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,
cf. [I] 5.10. Posons Ξ η = Z G (η)/G η .
Le groupe Ξ
Γ R
η agit naturellement sur D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ . Notons O
st la classe de conjugaison stable de η. Alors la restriction desc
st, ˜
G,∗
η
à
D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ se factorise en
(2)
D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ p
st
→ (D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ )
Ξ
Γ R
η
desc
st, ˜
G,∗
η
D
st
g´ eom (O
st ) ⊗ Mes(G(R))
∗
⊂ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
une formule de produit pour déduire la valeur de Δ(T, T ) de valeurs analogues
dans une situation non ramifiée. La même méthode s’applique et ramène l’égalité
à prouver à l’égalité analogue dans une situation non ramifiée sur un corps nonarchimédien. La preuve dans ce cas a été faite dans [79]. Cela prouve (1).
Le facteur exponentiel qui intervient en (1) affecte la description du transfert
des distributions si celles-ci font intervenir des dérivations dans la direction centrale
de G
. Mais ce n’est pas le cas si on se limite aux distributions provenant de G
,SC
via l’application ι
∗
G
,SC ,G de la section 3. En particulier, la relation [III] 5.2(7)
reste valide.
V.4.2 Localisation
Dans la suite de la section, on considère un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à
torsion intérieure. Soit η un élément semi-simple de ˜
G(R). Conformément à la
convention de [I] 5.10, nous notons
desc
˜
G,∗
η
: D g´ eom (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗
→ D g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗
l’application linéaire déduite de la descente d’Harish-Chandra. Comme on l’a dit
dans cette référence, elle n’est définie que sur les éléments de D g´ eom (G η (R)) ⊗
Mes(G η (R))
∗ dont le support est assez voisin de l’origine. Le groupe Z G (η; R)
agit naturellement dans D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ via son quotient fini Z G (η :
R)/G η (R). Notons O la classe de conjugaison de η par G(R). Alors la restriction
de desc
˜
G,∗
η
à D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ se factorise en
(1)
D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ p
→ (D unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ )
ZG(η;R)
desc
˜
G,∗
η
D g´ eom (O) ⊗ Mes(G(R))
∗
⊂ D g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,
où l’exposant Z G (η; R) désigne selon l’usage le sous-espace des invariants et où p
est la projection naturelle sur ce sous-espace.
Supposons G η quasi-déployé. On a de même une application linéaire
desc
st, ˜
G,∗
η
: D
st
g´ eom (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗
→ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,
cf. [I] 5.10. Posons Ξ η = Z G (η)/G η .
Le groupe Ξ
Γ R
η agit naturellement sur D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ . Notons O
st la classe de conjugaison stable de η. Alors la restriction desc
st, ˜
G,∗
η
à
D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ se factorise en
(2)
D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ p
st
→ (D
st
unip (G η (R)) ⊗ Mes(G η (R))
∗ )
Ξ
Γ R
η
desc
st, ˜
G,∗
η
D
st
g´ eom (O
st ) ⊗ Mes(G(R))
∗
⊂ D
st
g´ eom ( ˜
G(R)) ⊗ Mes(G(R))
∗ ,