V.4. Extension des définitions, cas quasi-déployé
529
endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de ¯
G SC . Le couple ( ¯
G
SC , G
,SC ) se complète en un
triplet endoscopique non standard. Soit y ∈ G tel que yσ(y)
−1
∈ I η = Z(G)
θ G η .
On pose η[y] = y
−1 ηy. Alors ψ ◦ ad y est un torseur intérieur de G η[y] sur ¯
G.
Ainsi, la donnée ¯
G
est aussi une donnée endoscopique pour G η[y] . Supposons
qu’elle soit relevante. Puisque ¯
G SC est simplement connexe, il n’est pas besoin de
données auxiliaires pour cette donnée et on peut fixer pour celle-ci un facteur de
transfert Δ(y). Soit Y ∈ g
(R) en position générale et proche de 0. Modulo les
isomorphismes de [III] 5.1, on le décompose en Y sc + Z avec Y sc ∈ g
,SC (R) et
Z ∈ z(G
; R). On décompose Z en Z 1 + Z 2 , avec Z 1 ∈ z( ¯
G; R) et Z 2 ∈ z( ¯
G
; R). On
transfère Y sc en un élément ¯
Y sc ∈ ¯ g
SC (R). On pose ¯
Y = ¯
Y sc + Z 2 . Supposons que
¯
Y se transfère en un élément X[y] sc ∈ g η[y],SC (R). On pose X[y] = X[y] sc + Z 1 .
On a
(1) il existe b ∈ z(G
; R)
∗ et, pour tout y comme ci-dessus, il existe d(y) ∈ C
×
de sorte que, pour toutes données Y , X[y] comme ci-dessus, on ait l’égalité
d(y)Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = e
b,Z Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y]).
Preuve. Commençons par fixer des tores maximaux dans nos différents groupes et
supposons que les éléments Y , ¯
Y et X[y] appartiennent aux algèbres de Lie de ces
tores. Le lemme [I] 2.8 entraîne qu’il existe (b 1 , b 2 ) ∈ z(G
1 ; R)
∗
⊕ (1 − θ)(z(G, R)
∗ )
de sorte que la fonction
e
−−b1,Y −−b2,X[y] Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])
soit localement constante. On a prolongé par exemple b 1 en une forme linéaire sur
g
1 (R) nulle sur g
1,SC (R). L’égalité se simplifie puisque la projection de X[y] dans
z(G; R) est invariante par θ : on a b 2 , X[y] = 0. On a aussi b 1 , Y = b 0 , Z,
où b 0 est la restriction de b 1 à z(G
; R). Un même résultat vaut pour le facteur
Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) : il existe b
1 ∈ z( ¯
G
; R)
∗ tel que la fonction
e
−b
1 ,Z2 Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc ))
soit localement constante. On peut identifier b
1 à un élément de z(G
; R)
∗ , cf. [III]
5.1(1). En posant b = b
1 − b 0 , on obtient que le rapport
(2)
e
b,Z Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc ))
−1
est localement constant. Il résulte des définitions de [I] 2.8 que les termes b 1 et
b
1 ne dépendent ni des tores fixés, ni de l’élément y (les constructions se situent
dans les groupes duaux et ne voient pas y). L’élément b non plus. On peut calculer
la fonction localement constante (2) de la même façon qu’en [79] chapitre 10. On
obtient qu’elle est constante, les tores étant fixés. Il reste à prouver que cette
constante ne dépend pas des tores. Dans la notation de [79], il s’agit de prouver
l’égalité Δ(T, T ) = 1. La méthode de [79] paragraphe 12 consistait à plonger la
situation locale dans une situation définie sur un corps de nombres et à utiliser
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endoscopique ¯
G
= ( ¯
G
, ¯
G
, ¯
s) de ¯
G SC . Le couple ( ¯
G
SC , G
,SC ) se complète en un
triplet endoscopique non standard. Soit y ∈ G tel que yσ(y)
−1
∈ I η = Z(G)
θ G η .
On pose η[y] = y
−1 ηy. Alors ψ ◦ ad y est un torseur intérieur de G η[y] sur ¯
G.
Ainsi, la donnée ¯
G
est aussi une donnée endoscopique pour G η[y] . Supposons
qu’elle soit relevante. Puisque ¯
G SC est simplement connexe, il n’est pas besoin de
données auxiliaires pour cette donnée et on peut fixer pour celle-ci un facteur de
transfert Δ(y). Soit Y ∈ g
(R) en position générale et proche de 0. Modulo les
isomorphismes de [III] 5.1, on le décompose en Y sc + Z avec Y sc ∈ g
,SC (R) et
Z ∈ z(G
; R). On décompose Z en Z 1 + Z 2 , avec Z 1 ∈ z( ¯
G; R) et Z 2 ∈ z( ¯
G
; R). On
transfère Y sc en un élément ¯
Y sc ∈ ¯ g
SC (R). On pose ¯
Y = ¯
Y sc + Z 2 . Supposons que
¯
Y se transfère en un élément X[y] sc ∈ g η[y],SC (R). On pose X[y] = X[y] sc + Z 1 .
On a
(1) il existe b ∈ z(G
; R)
∗ et, pour tout y comme ci-dessus, il existe d(y) ∈ C
×
de sorte que, pour toutes données Y , X[y] comme ci-dessus, on ait l’égalité
d(y)Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) = e
b,Z Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y]).
Preuve. Commençons par fixer des tores maximaux dans nos différents groupes et
supposons que les éléments Y , ¯
Y et X[y] appartiennent aux algèbres de Lie de ces
tores. Le lemme [I] 2.8 entraîne qu’il existe (b 1 , b 2 ) ∈ z(G
1 ; R)
∗
⊕ (1 − θ)(z(G, R)
∗ )
de sorte que la fonction
e
−−b1,Y −−b2,X[y] Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])
soit localement constante. On a prolongé par exemple b 1 en une forme linéaire sur
g
1 (R) nulle sur g
1,SC (R). L’égalité se simplifie puisque la projection de X[y] dans
z(G; R) est invariante par θ : on a b 2 , X[y] = 0. On a aussi b 1 , Y = b 0 , Z,
où b 0 est la restriction de b 1 à z(G
; R). Un même résultat vaut pour le facteur
Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc )) : il existe b
1 ∈ z( ¯
G
; R)
∗ tel que la fonction
e
−b
1 ,Z2 Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc ))
soit localement constante. On peut identifier b
1 à un élément de z(G
; R)
∗ , cf. [III]
5.1(1). En posant b = b
1 − b 0 , on obtient que le rapport
(2)
e
b,Z Δ 1 (exp(Y ) 1 , exp(X[y])η[y])Δ(y)(exp( ¯
Y ), exp(X[y] sc ))
−1
est localement constant. Il résulte des définitions de [I] 2.8 que les termes b 1 et
b
1 ne dépendent ni des tores fixés, ni de l’élément y (les constructions se situent
dans les groupes duaux et ne voient pas y). L’élément b non plus. On peut calculer
la fonction localement constante (2) de la même façon qu’en [79] chapitre 10. On
obtient qu’elle est constante, les tores étant fixés. Il reste à prouver que cette
constante ne dépend pas des tores. Dans la notation de [79], il s’agit de prouver
l’égalité Δ(T, T ) = 1. La méthode de [79] paragraphe 12 consistait à plonger la
situation locale dans une situation définie sur un corps de nombres et à utiliser