528
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Fixons s et J
apparaissant dans cette somme. En appliquant le (ii) de l’énoncé
par récurrence, on peut supposer que σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) est l’image par ι
∗
M
SC ,M
d’un élément τ s,J ∈ D
st
unip (M
SC (R)) ⊗ Mes(M
SC (R))
∗ . On sait que la donnée
M
détermine une donnée endoscopique M
sc de M SC . L’application ι
∗
M
SC ,M
se factorise en ι
∗
M
sc ,M ◦ ι
∗
M
SC ,M
sc
. Posons τ
s,J = ι
∗
M
SC ,M
sc
(τ s,J ). On a alors
σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) = ι
∗
M
sc ,M (τ
s,J ), d’où
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))) = ι
∗
MSC ,M ◦ transfert(τ
s,J ).
On a alors ρ
G
J (γ, a) = ι
∗
MSC ,M (τ ), où
τ =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(τ
s,J ).
Cela démontre (i) pour γ et cela achève la preuve de cette assertion (i).
Supposons G quasi-déployé. Pour δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , on
voit de même, en appliquant (i) et les hypothèses de récurrence, que σ
G
J (δ, a)
est l’image par ι
∗
MSC ,M d’un élément τ
∈ D unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ .
On sait que l’induite σ
G
J (δ, a)
G est stable. En appliquant le lemme 3.5, il existe
τ ∈ D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ tel que les induites à G des distributions ι
∗
MSC ,M (τ
) et ι
∗
MSC ,M (τ ) soient égales. Mais alors σ
G
J (δ, a) est l’image de
ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
st,G
unip . Cela prouve (ii).
V.4 Extension des définitions, cas quasi-déployé
et à torsion intérieure
V.4.1 Descente et endoscopie
On a rappelé dans la section 5 de [III] les liens entre descente et endoscopie. Le
corps de base y était non-archimédien. Presque tout reste valable sur notre corps
de base réel. Il faut toutefois modifier légèrement l’identité cruciale [III] 5.1(3).
Rappelons brièvement la situation. Dans ce paragraphe, le triplet (G, ˜
G, a) est
quelconque. On considère une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a)
elliptique et relevante. On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . Considérons un
diagramme (, B
, T
, B, T, η) joignant deux éléments semi-simples ∈ ˜
G
(R) et
η ∈ ˜
G(R). On suppose G
quasi-déployé. On fixe un relèvement 1 de dans
˜
G
1 (R). On fixe une décomposition d’algèbres de Lie g
1 = c 1 ⊕ g
. On construit
comme en [I] 1.2 une action galoisienne quasi-déployée sur G η qui conserve une
paire de Borel épinglée de ce groupe complétant la paire (B ∩ G η , T ∩ G η ). On
note ¯
G ce groupe muni de cette action. Celle-ci est telle que l’application identité
ψ : G η → ¯
G est un torseur intérieur. On a construit en [79] 3.5 une donnée
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Fixons s et J
apparaissant dans cette somme. En appliquant le (ii) de l’énoncé
par récurrence, on peut supposer que σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) est l’image par ι
∗
M
SC ,M
d’un élément τ s,J ∈ D
st
unip (M
SC (R)) ⊗ Mes(M
SC (R))
∗ . On sait que la donnée
M
détermine une donnée endoscopique M
sc de M SC . L’application ι
∗
M
SC ,M
se factorise en ι
∗
M
sc ,M ◦ ι
∗
M
SC ,M
sc
. Posons τ
s,J = ι
∗
M
SC ,M
sc
(τ s,J ). On a alors
σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) = ι
∗
M
sc ,M (τ
s,J ), d’où
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))) = ι
∗
MSC ,M ◦ transfert(τ
s,J ).
On a alors ρ
G
J (γ, a) = ι
∗
MSC ,M (τ ), où
τ =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(τ
s,J ).
Cela démontre (i) pour γ et cela achève la preuve de cette assertion (i).
Supposons G quasi-déployé. Pour δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , on
voit de même, en appliquant (i) et les hypothèses de récurrence, que σ
G
J (δ, a)
est l’image par ι
∗
MSC ,M d’un élément τ
∈ D unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ .
On sait que l’induite σ
G
J (δ, a)
G est stable. En appliquant le lemme 3.5, il existe
τ ∈ D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ tel que les induites à G des distributions ι
∗
MSC ,M (τ
) et ι
∗
MSC ,M (τ ) soient égales. Mais alors σ
G
J (δ, a) est l’image de
ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
st,G
unip . Cela prouve (ii).
V.4 Extension des définitions, cas quasi-déployé
et à torsion intérieure
V.4.1 Descente et endoscopie
On a rappelé dans la section 5 de [III] les liens entre descente et endoscopie. Le
corps de base y était non-archimédien. Presque tout reste valable sur notre corps
de base réel. Il faut toutefois modifier légèrement l’identité cruciale [III] 5.1(3).
Rappelons brièvement la situation. Dans ce paragraphe, le triplet (G, ˜
G, a) est
quelconque. On considère une donnée endoscopique G
= (G
, G
, ˜
s) de (G, ˜
G, a)
elliptique et relevante. On fixe des données auxiliaires G
1 ,. . .,Δ 1 . Considérons un
diagramme (, B
, T
, B, T, η) joignant deux éléments semi-simples ∈ ˜
G
(R) et
η ∈ ˜
G(R). On suppose G
quasi-déployé. On fixe un relèvement 1 de dans
˜
G
1 (R). On fixe une décomposition d’algèbres de Lie g
1 = c 1 ⊕ g
. On construit
comme en [I] 1.2 une action galoisienne quasi-déployée sur G η qui conserve une
paire de Borel épinglée de ce groupe complétant la paire (B ∩ G η , T ∩ G η ). On
note ¯
G ce groupe muni de cette action. Celle-ci est telle que l’application identité
ψ : G η → ¯
G est un torseur intérieur. On a construit en [79] 3.5 une donnée