V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
527
En effet, c’est l’assertion [I] 5.15 (4) dans le cas particulier k = 1 et ˜
M 1 =
˜
G = G.
Venons-en à la preuve du lemme. Soit γ comme dans l’énoncé. C’est une forme
linéaire continue sur I(M SC (R)) unip,loc . On cherche un élément δ∈D
st
unip (M SC (R)),
c’est-à-dire une forme linéaire continue sur SI(M SC (R)) unip,loc , ou encore une
forme linéaire continue sur I(M SC (R)) unip,loc nulle sur Ker(s
MSC ). La condition (ι
∗
MSC ,M (γ))
G = (ι
∗
MSC ,M (δ))
G revient à dire que γ et δ coïncident sur
l’image de res MSC . Cette image est fermée d’après (8) et la somme de cette
image avec Ker(s
MSC ) est aussi fermée : c’est l’image réciproque par s
MSC de
l’image de res
st
MSC qui est fermée par l’analogue de (8). La condition nécessaire
et suffisante pour que δ existe est donc que γ annule Im(res MSC ) ∩ Ker(s
MSC ).
Ou encore, d’après (11), que γ annule res MSC (Ker(s
G )). D’après (13), cet espace est l’adhérence de l’image par res MSC de l’image naturelle de I
inst (G(R))
dans I(G(R)) unip,loc . L’hypothèse que (ι
∗
MSC ,M (γ))
G est stable signifie que γ
annule cette image. Etant continue, γ annule aussi son adhérence, c’est-à-dire
res MSC (Ker(s
G )). Cela achève la démonstration.
V.3.6 Un corollaire
Soient M un Levi de G et J ∈ J
G
M (B).
Corollaire.
(i) Soient γ ∈ D tr-unip (M (R))⊗Mes(M (R))
∗ et a ∈ A M (R) en position générale
et proche de 1. Alors il existe τ ∈ D unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ tel que
ρ
G
J (γ, a) soit l’image de ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
G
unip .
(ii) Supposons G quasi-déployé. Soient δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Alors il existe
τ ∈ D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗
tel que σ
G
J (δ, a) soit l’image de ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
st,G
unip .
Preuve. Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , l’élément ρ
G
J (γ, a) appartient
par définition à D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ (plus exactement, est l’image modulo Ann
G
unip d’un élément de cet espace). Puisque D orb,unip (M (R))⊗Mes(M (R))
∗
est l’image par ι
∗
MSC ,M de D orb,unip (M SC (R))⊗Mes(M SC (R))
∗ , l’assertion (i) vaut
pour γ. Soit M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
M , avec M
= M si G est quasi-déployé. Soit δ ∈ D
st
tr-unip (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ,
considérons l’élément γ = transfert(δ). Par définition, on a
ρ
G
J (γ, a) = ρ
G,E
J (M
, δ, a) =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))).
527
En effet, c’est l’assertion [I] 5.15 (4) dans le cas particulier k = 1 et ˜
M 1 =
˜
G = G.
Venons-en à la preuve du lemme. Soit γ comme dans l’énoncé. C’est une forme
linéaire continue sur I(M SC (R)) unip,loc . On cherche un élément δ∈D
st
unip (M SC (R)),
c’est-à-dire une forme linéaire continue sur SI(M SC (R)) unip,loc , ou encore une
forme linéaire continue sur I(M SC (R)) unip,loc nulle sur Ker(s
MSC ). La condition (ι
∗
MSC ,M (γ))
G = (ι
∗
MSC ,M (δ))
G revient à dire que γ et δ coïncident sur
l’image de res MSC . Cette image est fermée d’après (8) et la somme de cette
image avec Ker(s
MSC ) est aussi fermée : c’est l’image réciproque par s
MSC de
l’image de res
st
MSC qui est fermée par l’analogue de (8). La condition nécessaire
et suffisante pour que δ existe est donc que γ annule Im(res MSC ) ∩ Ker(s
MSC ).
Ou encore, d’après (11), que γ annule res MSC (Ker(s
G )). D’après (13), cet espace est l’adhérence de l’image par res MSC de l’image naturelle de I
inst (G(R))
dans I(G(R)) unip,loc . L’hypothèse que (ι
∗
MSC ,M (γ))
G est stable signifie que γ
annule cette image. Etant continue, γ annule aussi son adhérence, c’est-à-dire
res MSC (Ker(s
G )). Cela achève la démonstration.
V.3.6 Un corollaire
Soient M un Levi de G et J ∈ J
G
M (B).
Corollaire.
(i) Soient γ ∈ D tr-unip (M (R))⊗Mes(M (R))
∗ et a ∈ A M (R) en position générale
et proche de 1. Alors il existe τ ∈ D unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ tel que
ρ
G
J (γ, a) soit l’image de ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
G
unip .
(ii) Supposons G quasi-déployé. Soient δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ et
a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Alors il existe
τ ∈ D
st
unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗
tel que σ
G
J (δ, a) soit l’image de ι
∗
MSC ,M (τ ) modulo Ann
st,G
unip .
Preuve. Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , l’élément ρ
G
J (γ, a) appartient
par définition à D orb,unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ (plus exactement, est l’image modulo Ann
G
unip d’un élément de cet espace). Puisque D orb,unip (M (R))⊗Mes(M (R))
∗
est l’image par ι
∗
MSC ,M de D orb,unip (M SC (R))⊗Mes(M SC (R))
∗ , l’assertion (i) vaut
pour γ. Soit M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de
M , avec M
= M si G est quasi-déployé. Soit δ ∈ D
st
tr-unip (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ ,
considérons l’élément γ = transfert(δ). Par définition, on a
ρ
G
J (γ, a) = ρ
G,E
J (M
, δ, a) =
s∈ζZ( ˆ
M ) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))).