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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
On vérifie que les suites suivantes sont exactes
1 → W
M T (T
)
Γ R → W (T
)
Γ R → W (M T ) → 1,
1 → W
M T
R
(T
) → W R (T
) → W (M T ) → 1.
On en déduit l’égalité
[W (T
)
Γ R : W R (T
)] = [W
M T (T
)
Γ R : W
M T
R
(T
)].
On a de même
[W
M (T
)
Γ R : W
M
R (T
)] = [W
M T (T
)
Γ R : W
M T
R
(T
)].
D’où (10).
Soit alors f ∈ Gr
n I(G(R)) unip,loc , supposons res
n
MSC (f ) ∈ Ker(s
MSC ,n ).
Ecrivons f = f 0 + f
st , avec f 0 ∈ Ker(s
G,n ) et f
st
∈ Gr
n SI(G(R)) unip,loc . On
a s
MSC ,n
◦ res
n
MSC (f ) = res
n
MSC (f
st ). Ce terme est nul par hypothèse. Donc
res
n
MSC (f ) = res
n
MSC (f 0 ), c’est-à-dire res
n
MSC (f ) appartient à res
n
MSC (Ker(s
G,n )).
Cela prouve (9).
Montrons que l’assertion (9) se relève des gradués aux espaces eux-mêmes,
c’est-à-dire
(11)
Im(res MSC ) ∩ Ker(s
MSC ) = res MSC (Ker(s
G )).
On démontre par récurrence sur n que
(12)
res MSC (F
n I(G(R)) unip,loc ) ∩ Ker(s
MSC ) ⊂ res MSC (Ker(s
G )).
Soit f
∈ res MSC (F
n I(G(R)) unip,loc ) ∩ Ker(s
MSC ).
Alors p
MSC ,n (f
) ∈ Im(res
n
MSC ) ∩ Ker(s
MSC ,n ). D’après (9), il existe f
n
∈
Ker(s
G,n ) tel que res
n
MSC (f
n ) = p
MSC ,n (f
). Comme on l’a vu en [I] 4.17 (on
a dit que les résultats de ce paragraphe s’appliquaient à nos espaces localisés),
il existe f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc ∩ Ker(s
G ) tel que p
n (f ) = f
n . Posons f
0 =
f
− res MSC (f ). Les égalités ci-dessus entraînent p
MSC ,n (f
0 ) = 0, donc f
0 ∈
F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc . L’élément f
0 appartient encore à l’image de res MSC . En
appliquant (4), on a f
0 ∈ res MSC (F
n−1 I(G(R)) unip,loc ). Puisque f ∈ Ker(s
G ),
on a res MSC (f ) ∈ Ker(s
MSC ) donc aussi f
0 ∈ Ker(s
MSC ). En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient f
0 ∈ res MSC (Ker(s
G )). Alors f
= f
0 + res MSC (f )
appartient aussi à res MSC (Ker(s
G )). Cela prouve (12).
Pour n maximal, (12) entraîne que le membre de gauche de (11) est inclus
dans celui de droite. L’inclusion opposée est évidente. D’où (11).
Notons I
inst (G(R)) le noyau de l’application naturelle I(G(R)) → SI(G(R)).
Rappelons que
(13) l’image naturelle de I
inst (G(R)) dans I(G(R)) unip,loc est dense dans Ker(s
G ).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
On vérifie que les suites suivantes sont exactes
1 → W
M T (T
)
Γ R → W (T
)
Γ R → W (M T ) → 1,
1 → W
M T
R
(T
) → W R (T
) → W (M T ) → 1.
On en déduit l’égalité
[W (T
)
Γ R : W R (T
)] = [W
M T (T
)
Γ R : W
M T
R
(T
)].
On a de même
[W
M (T
)
Γ R : W
M
R (T
)] = [W
M T (T
)
Γ R : W
M T
R
(T
)].
D’où (10).
Soit alors f ∈ Gr
n I(G(R)) unip,loc , supposons res
n
MSC (f ) ∈ Ker(s
MSC ,n ).
Ecrivons f = f 0 + f
st , avec f 0 ∈ Ker(s
G,n ) et f
st
∈ Gr
n SI(G(R)) unip,loc . On
a s
MSC ,n
◦ res
n
MSC (f ) = res
n
MSC (f
st ). Ce terme est nul par hypothèse. Donc
res
n
MSC (f ) = res
n
MSC (f 0 ), c’est-à-dire res
n
MSC (f ) appartient à res
n
MSC (Ker(s
G,n )).
Cela prouve (9).
Montrons que l’assertion (9) se relève des gradués aux espaces eux-mêmes,
c’est-à-dire
(11)
Im(res MSC ) ∩ Ker(s
MSC ) = res MSC (Ker(s
G )).
On démontre par récurrence sur n que
(12)
res MSC (F
n I(G(R)) unip,loc ) ∩ Ker(s
MSC ) ⊂ res MSC (Ker(s
G )).
Soit f
∈ res MSC (F
n I(G(R)) unip,loc ) ∩ Ker(s
MSC ).
Alors p
MSC ,n (f
) ∈ Im(res
n
MSC ) ∩ Ker(s
MSC ,n ). D’après (9), il existe f
n
∈
Ker(s
G,n ) tel que res
n
MSC (f
n ) = p
MSC ,n (f
). Comme on l’a vu en [I] 4.17 (on
a dit que les résultats de ce paragraphe s’appliquaient à nos espaces localisés),
il existe f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc ∩ Ker(s
G ) tel que p
n (f ) = f
n . Posons f
0 =
f
− res MSC (f ). Les égalités ci-dessus entraînent p
MSC ,n (f
0 ) = 0, donc f
0 ∈
F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc . L’élément f
0 appartient encore à l’image de res MSC . En
appliquant (4), on a f
0 ∈ res MSC (F
n−1 I(G(R)) unip,loc ). Puisque f ∈ Ker(s
G ),
on a res MSC (f ) ∈ Ker(s
MSC ) donc aussi f
0 ∈ Ker(s
MSC ). En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient f
0 ∈ res MSC (Ker(s
G )). Alors f
= f
0 + res MSC (f )
appartient aussi à res MSC (Ker(s
G )). Cela prouve (12).
Pour n maximal, (12) entraîne que le membre de gauche de (11) est inclus
dans celui de droite. L’inclusion opposée est évidente. D’où (11).
Notons I
inst (G(R)) le noyau de l’application naturelle I(G(R)) → SI(G(R)).
Rappelons que
(13) l’image naturelle de I
inst (G(R)) dans I(G(R)) unip,loc est dense dans Ker(s
G ).