V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
525
L’image de (ϕ T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T par ψ est alors la famille
(ϕ T ,Ω ,g ) T ∈T M ,Ω ∈Ω T ,g∈W T .
L’assertion (3) revient à dire que l’image de res MSC est égale à l’intersection dans
X de I(M SC (R)) unip,loc et de l’image de ψ. Pour prouver (8), il suffit donc de
prouver que l’image de ψ est fermée dans X. L’espace des series formelles, disons
sur t(R), est le produit sur i ∈ N des espaces de polynômes homogènes de degré i
sur t(R). Ce résultat s’étend bien sûr à nos espaces X et Z : on a X =
i∈N X i
et Z =
i∈N Z i . L’application ψ est le produit d’applications ψ i : Z i → X i . Soit
alors x ∈ X qui est dans l’adhérence de l’image de ψ. Pour tout i, la composante
x i ∈ X i est dans l’adhérence de l’image de ψ i . Or les espaces X i et Z i sont de
dimensions finies donc l’image de ψ i est fermée. On peut donc choisir z i ∈ Z i tel
que ψ i (z i ) = x i . Mais alors, l’élément z =
i∈N z i ∈ Z vérifie ψ(z) = x. Donc x
appartient à l’image de ψ. Cela démontre (8).
On a de même une application res
st
MSC = ι MSC ,M ◦ res
st
M : SI(G(R)) unip,loc →
SI(M SC (R)) unip,loc . Elle se décrit de la même façon que res MSC . Des propriétés
analogues à (3), (4), (5) et (8) valent pour cette application.
Nos applications sont compatibles aux filtrations. Pour tout n, on en déduit
un diagramme commutatif
Gr
n I(G(R)) unip,loc
res
n
M SC
→
Gr
n I(M SC (R)) unip,loc
s
G,n
↓
s
MSC ,n
↓
Gr
n SI(G(R)) unip,loc
res
st,n
M SC
→
Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc .
Montrons que
(9)
Im(res
n
MSC ) ∩ Ker(s
MSC ,n ) = res
n
MSC (Ker(s
G,n )).
Comme on l’a vu ci-dessus, on peut identifier Gr
n SI(G(R)) unip,loc à un sousespace de Gr
n I(G(R)) unip,loc . On a alors
Gr
n I(G(R)) unip,loc = Ker(s
G,n ) ⊕ Gr
n SI(G(R)) unip,loc .
De même
Gr
n I(M SC (R)) unip,loc = Ker(s
MSC ,n ) ⊕ Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc .
Les deux sections sont compatibles aux applications res
n
MSC et res
st,n
MSC . Précisément, res
n
MSC envoie Gr
n SI(G(R)) unip,loc dans Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc et coïncide avec res
st,n
MSC sur l’espace Gr
n SI(G(R)) unip,loc . Cela résulte des descriptions
ci-dessus et de la propriété suivante
(10) pour tout T
∈ T
M , on a l’égalité
[W (T
)
Γ R : W R (T
)] = [W
M (T
)
Γ R : W
M
R (T
)].
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L’image de (ϕ T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T par ψ est alors la famille
(ϕ T ,Ω ,g ) T ∈T M ,Ω ∈Ω T ,g∈W T .
L’assertion (3) revient à dire que l’image de res MSC est égale à l’intersection dans
X de I(M SC (R)) unip,loc et de l’image de ψ. Pour prouver (8), il suffit donc de
prouver que l’image de ψ est fermée dans X. L’espace des series formelles, disons
sur t(R), est le produit sur i ∈ N des espaces de polynômes homogènes de degré i
sur t(R). Ce résultat s’étend bien sûr à nos espaces X et Z : on a X =
i∈N X i
et Z =
i∈N Z i . L’application ψ est le produit d’applications ψ i : Z i → X i . Soit
alors x ∈ X qui est dans l’adhérence de l’image de ψ. Pour tout i, la composante
x i ∈ X i est dans l’adhérence de l’image de ψ i . Or les espaces X i et Z i sont de
dimensions finies donc l’image de ψ i est fermée. On peut donc choisir z i ∈ Z i tel
que ψ i (z i ) = x i . Mais alors, l’élément z =
i∈N z i ∈ Z vérifie ψ(z) = x. Donc x
appartient à l’image de ψ. Cela démontre (8).
On a de même une application res
st
MSC = ι MSC ,M ◦ res
st
M : SI(G(R)) unip,loc →
SI(M SC (R)) unip,loc . Elle se décrit de la même façon que res MSC . Des propriétés
analogues à (3), (4), (5) et (8) valent pour cette application.
Nos applications sont compatibles aux filtrations. Pour tout n, on en déduit
un diagramme commutatif
Gr
n I(G(R)) unip,loc
res
n
M SC
→
Gr
n I(M SC (R)) unip,loc
s
G,n
↓
s
MSC ,n
↓
Gr
n SI(G(R)) unip,loc
res
st,n
M SC
→
Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc .
Montrons que
(9)
Im(res
n
MSC ) ∩ Ker(s
MSC ,n ) = res
n
MSC (Ker(s
G,n )).
Comme on l’a vu ci-dessus, on peut identifier Gr
n SI(G(R)) unip,loc à un sousespace de Gr
n I(G(R)) unip,loc . On a alors
Gr
n I(G(R)) unip,loc = Ker(s
G,n ) ⊕ Gr
n SI(G(R)) unip,loc .
De même
Gr
n I(M SC (R)) unip,loc = Ker(s
MSC ,n ) ⊕ Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc .
Les deux sections sont compatibles aux applications res
n
MSC et res
st,n
MSC . Précisément, res
n
MSC envoie Gr
n SI(G(R)) unip,loc dans Gr
n SI(M SC (R)) unip,loc et coïncide avec res
st,n
MSC sur l’espace Gr
n SI(G(R)) unip,loc . Cela résulte des descriptions
ci-dessus et de la propriété suivante
(10) pour tout T
∈ T
M , on a l’égalité
[W (T
)
Γ R : W R (T
)] = [W
M (T
)
Γ R : W
M
R (T
)].