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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Cette fonction satisfait encore (Hyp) f ,T,ΩT et appartient à C[[t(R)]]
W R (T ),, . Notons plus précisément ϕ T cette fonction. La famille (ϕ T ) T ∈T n s’identifie à un
élément f
n
∈ Gr
n I(G(R)) unip,loc . On vérifie que res
n
MSC (f
n ) = p
MSC ,n (f
). Cela
prouve (6).
Montrons maintenant que
(7) V ∩ F
n I(M SC (R)) unip,loc est l’image par res MSC de F
n I(G(R)) unip,loc .
On raisonne par récurrence sur n. C’est clair si n < a G puisqu’alors tous les
espaces sont nuls. Soit n ≥ a G , supposons l’assertion démontrée pour n − 1. Soit
f
∈ V ∩ F
n I(M SC (R)) unip,loc . D’après (6), il existe f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc tel que
p
MSC ,n (f
− res MSC (f )) = 0. Cela entraîne
f
− res MSC (f ) ∈ F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc .
Puisque l’image de res MSC est contenu dans V , on a aussi f
− res MSC (f ) ∈ V .
En appliquant l’hypothèse de récurrence, f
− res MSC (f ) appartient à l’image par
res MSC de F
n−1 I(G(R)) unip,loc . Cela entraîne que f
appartient à l’image par
res MSC de F
n I(G(R)) unip,loc , d’où (7).
Pour n maximal, (7) implique (3). Une fois (3) connue, (4) est équivalent
à (7). Enfin, soit f
n
∈ Ker(res
n
MSC ). Choisissons f 0 ∈ F
n I(G(R)) unip,loc tel que
p
n (f 0 ) = f
n . L’hypothèse f
n
∈ Ker(res
n
MSC ) implique
res MSC (f 0 ) ∈ F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc .
En appliquant (4), il existe f 1 ∈ F
n−1 I(G(R)) unip,loc tel que res MSC (f 1 ) =
res MSC (f 0 ). L’élément f = f 0 − f 1 appartient à Ker(res MSC ) ∩ F
n I(G(R)) unip,loc
et vérifie p
n (f ) = f
n . Cela prouve (5).
Montrons que
(8) l’image de l’application res MSC est fermée dans I(M SC (R)) unip,loc .
Pour tout T
∈ T
M , fixons un ensemble de représentants W T du quotient
{g ∈ G(R); ad g (T
) ∈ T }/T
(R). Considérons l’espace
X = ⊕ T ∈T M ,Ω ∈Ω T ,g∈W T C[[t
sc (R)]].
L’espace
Y = ⊕ T ∈T M ,Ω ∈Ω T C[[t
sc (R)]]
s’identifie au sous-espace fermé des éléments de X dont les composantes sont
indépendantes de g ∈ W T . On a dit que I(M SC (R)) unip,loc s’identifiait à un sousespace fermé de Y . Il s’identifie donc aussi à un sous-espace fermé de X. Posons
Z = ⊕ T ∈T ,Ω∈Ω T C[[t(R)]].
On définit une application ψ : Z → X de la façon suivante. Soit (ϕ T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T ∈
Z. Soient T
∈ T
M , Ω
∈ Ω T et g ∈ W T . Pour X
∈ t
sc (R), posons
ϕ T ,Ω ,g (X
) = ϕ adg (T ),adg (Ω ) (ad g (X
)).
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Cette fonction satisfait encore (Hyp) f ,T,ΩT et appartient à C[[t(R)]]
W R (T ),, . Notons plus précisément ϕ T cette fonction. La famille (ϕ T ) T ∈T n s’identifie à un
élément f
n
∈ Gr
n I(G(R)) unip,loc . On vérifie que res
n
MSC (f
n ) = p
MSC ,n (f
). Cela
prouve (6).
Montrons maintenant que
(7) V ∩ F
n I(M SC (R)) unip,loc est l’image par res MSC de F
n I(G(R)) unip,loc .
On raisonne par récurrence sur n. C’est clair si n < a G puisqu’alors tous les
espaces sont nuls. Soit n ≥ a G , supposons l’assertion démontrée pour n − 1. Soit
f
∈ V ∩ F
n I(M SC (R)) unip,loc . D’après (6), il existe f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc tel que
p
MSC ,n (f
− res MSC (f )) = 0. Cela entraîne
f
− res MSC (f ) ∈ F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc .
Puisque l’image de res MSC est contenu dans V , on a aussi f
− res MSC (f ) ∈ V .
En appliquant l’hypothèse de récurrence, f
− res MSC (f ) appartient à l’image par
res MSC de F
n−1 I(G(R)) unip,loc . Cela entraîne que f
appartient à l’image par
res MSC de F
n I(G(R)) unip,loc , d’où (7).
Pour n maximal, (7) implique (3). Une fois (3) connue, (4) est équivalent
à (7). Enfin, soit f
n
∈ Ker(res
n
MSC ). Choisissons f 0 ∈ F
n I(G(R)) unip,loc tel que
p
n (f 0 ) = f
n . L’hypothèse f
n
∈ Ker(res
n
MSC ) implique
res MSC (f 0 ) ∈ F
n−1 I(M SC (R)) unip,loc .
En appliquant (4), il existe f 1 ∈ F
n−1 I(G(R)) unip,loc tel que res MSC (f 1 ) =
res MSC (f 0 ). L’élément f = f 0 − f 1 appartient à Ker(res MSC ) ∩ F
n I(G(R)) unip,loc
et vérifie p
n (f ) = f
n . Cela prouve (5).
Montrons que
(8) l’image de l’application res MSC est fermée dans I(M SC (R)) unip,loc .
Pour tout T
∈ T
M , fixons un ensemble de représentants W T du quotient
{g ∈ G(R); ad g (T
) ∈ T }/T
(R). Considérons l’espace
X = ⊕ T ∈T M ,Ω ∈Ω T ,g∈W T C[[t
sc (R)]].
L’espace
Y = ⊕ T ∈T M ,Ω ∈Ω T C[[t
sc (R)]]
s’identifie au sous-espace fermé des éléments de X dont les composantes sont
indépendantes de g ∈ W T . On a dit que I(M SC (R)) unip,loc s’identifiait à un sousespace fermé de Y . Il s’identifie donc aussi à un sous-espace fermé de X. Posons
Z = ⊕ T ∈T ,Ω∈Ω T C[[t(R)]].
On définit une application ψ : Z → X de la façon suivante. Soit (ϕ T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T ∈
Z. Soient T
∈ T
M , Ω
∈ Ω T et g ∈ W T . Pour X
∈ t
sc (R), posons
ϕ T ,Ω ,g (X
) = ϕ adg (T ),adg (Ω ) (ad g (X
)).