V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
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(Hyp) f ,T,Ω . Il existe ϕ ∈ C[[t(R)]] telle que, pour tout T
∈ T
M , tout g ∈ G(R)
tel que ad g (T
) = T et tout X
∈ t
sc (R), on ait l’égalité
ϕ(ad g (X
) = ϕ f ,T ,ad g −1 (Ω) (X
).
Notons V le sous-espace des f
∈ I(M SC (R)) unip,loc tels que, pour tous T ∈ T
et Ω ∈ Ω T , la condition (Hyp) f ,T,Ω soit vérifiée. D’après la description ci-dessus,
l’image de res MSC est contenue dans V . L’application res MSC est compatible aux
filtrations. On note res
n
MSC l’application déduite entre gradués de degré n. On note
p
n : F
n I(G(R)) unip,loc → Gr
n I(G(R)) unip,loc et p
MSC ,n : F
n I(M SC (R)) unip,loc →
Gr
n I(M SC (R)) unip,loc les projections naturelles. Nous allons prouver que
(3) l’image de res MSC est égale à V ;
(4) l’intersection avec F
n I(M SC (R)) unip,loc de l’image de res MSC est l’image par
res MSC de F
n I(G(R)) unip,loc ;
(5) soit f
n
∈ Ker(res
n
MSC ) ; alors il existe f ∈ Ker(res MSC ) ∩ F
n I(G(R)) unip,loc
telle que p
n (f ) = f
n .
On a vu que l’image de res MSC était contenue dans V . On va d’abord prouver
(6) soit f
∈ V ∩ F
n I(M SC (R)) unip,loc ; alors il existe f
n
∈ Gr
n I(G(R)) unip,loc
tel que res
n
MSC (f
n ) = p
MSC ,n (f
).
Soit T ∈ T
n . Considérons une fonction ϕ ∈ C[[t(R)]] satisfaisant l’hypothèse
(Hyp) f ,T,ΩT . Soit w ∈ W R (T ). Montrons que la fonction (w)w(ϕ) satisfait encore
cette hypothèse. On fixe x ∈ Norm G(R) (T ) tel que w soit la restriction de ad x à
T . Soient T
∈ T
M , g ∈ G(R) tel que ad g (T
) = T et X
∈ t
sc (R). On a
(w)w(ϕ)(ad g (X
)) = (w)ϕ(ad x −1 g (X
) = (w)ϕ f ,T ,ad g −1 x (ΩT ) (X
),
d’après l’hypothèse (Hyp) f ,T,ΩT appliquée à T
et x
−1 g. Soit w
∈ W
M T (T
) tel
que ad g −1 x (Ω T ) = w
(ad g −1 (Ω T ). On a T
∈ T
M,n .
L’hypothèse f
∈ F
n I(M SC (R)) unip,loc entraîne que l’analogue de la condition (2) est vérifiée. C’est-à-dire que
ϕ f ,T ,ad g −1 x (ΩT ) (X
) =
(w
)ϕ f ,T ,ad g −1 (ΩT ) (X
),
en notant pour plus de précision
le caractère de W
M T (T
). Mais l’application α → ad g −1 (α) se restreint en une bijection entre l’ensemble des racines
α ∈ Σ
MT (T ) telles que l’hyperplan noyau de α sépare Ω T de w(Ω T ) et l’ensemble
des racines β ∈ Σ
M T (T
) telles que l’hyperplan noyau de β sépare ad g −1 (Ω T ) de
ad g −1 x (Ω T ). Il en résulte que (w) =
(w
). On obtient alors
(w)w(ϕ)(ad g (X
)) = ϕ f ,T ,ad g −1 (ΩT ) (X
).
Donc (w)w(ϕ) vérifie (Hyp) f ,T,ΩT . On peut alors remplacer ϕ par
|W R (T )|
−1
w∈W R (T )
(w)w(ϕ).