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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
L’application f → (ϕ f,T,ΩT ) T ∈T n se quotiente en un homéomorphisme
Gr
n I(G(R)) unip,loc ⊕ T ∈T n C[[t(R)]]
W R (T ),, .
Des descriptions analogues valent pour l’espace SI(G(R)) unip,loc . On doit
seulement remplacer pour tout T le groupe W R (T ) par W (T )
Γ R . Notons s
G :
I(G(R)) unip,loc → SI(G(R)) unip,loc la projection naturelle et s
G,n l’application
déduite entre les gradués de degré n. On voit que s
G,n est la somme sur T ∈ T
des applications
C[[t(R)]]
W R (T ),,
→
C[[t(R)]]
W (T )
Γ R ,,
ϕ
→
w∈W (T ) Γ R /W R (T ) (w)w(ϕ).
Cette application admet une section naturelle
C[[t(R)]]
W (T )
Γ R ,,
→
C[[t(R)]]
W R (T ),,
ϕ
→ [W (T )
Γ R : W R (T )]
−1 ϕ.
On obtient ainsi une identification de Gr
n SI(G(R)) unip,loc à un sous-espace de
Gr
n I(G(R)) unip,loc .
Il est facile de reprendre les preuves des paragraphes 4.15 et 4.16 de [I] (qui
concernaient les espaces I(G(R)) et SI(G(R))) et de montrer que les résultats de
ces paragraphes valent pour nos espaces I(G(R)) unip,loc et SI(G(R)) unip,loc .
On décrit de même les espaces I(M (R)) unip,loc , I(M SC (R)) unip,loc etc. . . et
leurs gradués. Selon notre habitude, on ajoute si nécessaire des exposants M ou
M SC dans les notations pour les objets obtenus en remplaçant l’espace ambiant
G par M ou M SC .
On dispose de l’application de restriction
res M : I(G(R)) unip,loc → I(M (R)) unip,loc .
De la projection M SC (R) → M (R) se déduit une application naturelle ι MSC ,M :
I(M (R)) unip,loc → I(M SC (R)) unip,loc . Notons
res MSC = ι MSC ,M ◦ res M : I(G(R)) unip,loc → I(M SC (R)) unip,loc .
Décrivons cette application.
Soit f ∈ I(G(R)) unip,loc , posons f
= res MSC (f ). Soient T
∈ T
M et Ω
∈
Ω T . La fonction ϕ f ,T ,Ω appartient à C[[t
sc (R)]], où T
sc est l’image réciproque
de T
dans M SC . Fixons g ∈ G(R) tel que ad g (T
) ∈ T . Posons T = ad g (T
) et
Ω = ad g (Ω
). Alors, pour X
∈ t
sc (R), on a l’égalité
ϕ f ,T ,Ω (X
) = ϕ f,T,Ω (ad g (X
)).
Pour f
∈ I(M SC (R)) unip,loc , T ∈ T et Ω ∈ Ω T , considérons la condition
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
L’application f → (ϕ f,T,ΩT ) T ∈T n se quotiente en un homéomorphisme
Gr
n I(G(R)) unip,loc ⊕ T ∈T n C[[t(R)]]
W R (T ),, .
Des descriptions analogues valent pour l’espace SI(G(R)) unip,loc . On doit
seulement remplacer pour tout T le groupe W R (T ) par W (T )
Γ R . Notons s
G :
I(G(R)) unip,loc → SI(G(R)) unip,loc la projection naturelle et s
G,n l’application
déduite entre les gradués de degré n. On voit que s
G,n est la somme sur T ∈ T
des applications
C[[t(R)]]
W R (T ),,
→
C[[t(R)]]
W (T )
Γ R ,,
ϕ
→
w∈W (T ) Γ R /W R (T ) (w)w(ϕ).
Cette application admet une section naturelle
C[[t(R)]]
W (T )
Γ R ,,
→
C[[t(R)]]
W R (T ),,
ϕ
→ [W (T )
Γ R : W R (T )]
−1 ϕ.
On obtient ainsi une identification de Gr
n SI(G(R)) unip,loc à un sous-espace de
Gr
n I(G(R)) unip,loc .
Il est facile de reprendre les preuves des paragraphes 4.15 et 4.16 de [I] (qui
concernaient les espaces I(G(R)) et SI(G(R))) et de montrer que les résultats de
ces paragraphes valent pour nos espaces I(G(R)) unip,loc et SI(G(R)) unip,loc .
On décrit de même les espaces I(M (R)) unip,loc , I(M SC (R)) unip,loc etc. . . et
leurs gradués. Selon notre habitude, on ajoute si nécessaire des exposants M ou
M SC dans les notations pour les objets obtenus en remplaçant l’espace ambiant
G par M ou M SC .
On dispose de l’application de restriction
res M : I(G(R)) unip,loc → I(M (R)) unip,loc .
De la projection M SC (R) → M (R) se déduit une application naturelle ι MSC ,M :
I(M (R)) unip,loc → I(M SC (R)) unip,loc . Notons
res MSC = ι MSC ,M ◦ res M : I(G(R)) unip,loc → I(M SC (R)) unip,loc .
Décrivons cette application.
Soit f ∈ I(G(R)) unip,loc , posons f
= res MSC (f ). Soient T
∈ T
M et Ω
∈
Ω T . La fonction ϕ f ,T ,Ω appartient à C[[t
sc (R)]], où T
sc est l’image réciproque
de T
dans M SC . Fixons g ∈ G(R) tel que ad g (T
) ∈ T . Posons T = ad g (T
) et
Ω = ad g (Ω
). Alors, pour X
∈ t
sc (R), on a l’égalité
ϕ f ,T ,Ω (X
) = ϕ f,T,Ω (ad g (X
)).
Pour f
∈ I(M SC (R)) unip,loc , T ∈ T et Ω ∈ Ω T , considérons la condition