V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
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Remarque. On rappelle que M SC est le revêtement simplement connexe du groupe
dérivé de M . Le lemme serait plus facile mais plus faible si l’on remplaçait ce
groupe par l’image réciproque M sc de M dans G SC .
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Introduisons
les espaces I(G(R)) unip,loc et SI(G(R)) unip,loc de [I] 5.2 et [I] 5.5. L’indice unip
remplace comme à notre habitude l’indice O de ce paragraphe, cette classe O étant
réduite à {1}. Rappelons la description que l’on a donnée en [I] 5.2 de l’espace
I(G(R)) unip,loc . On fixe un ensemble T de représentants des classes de conjugaison
par G(R) de sous-tores maximaux de G. Pour T ∈ T , notons M T le plus petit Levi
de G contenant T . Il est déterminé par la condition A MT = A T . Notons Σ
MT (T )
l’ensemble des racines de T dans m T . Ce sont les racines imaginaires de T . Notons
t le sous-ensemble des X ∈ t tels que α(X) = 0 pour tout α ∈ Σ
MT (T ). On note
Ω T l’ensemble des composantes connexes de t (R) et on fixe un élément Ω T ∈ Ω T .
Posons W R (T ) = Norm G(R) (T )/T (R) et W (T ) = Norm G (T )/T . On a W R (T ) ⊂
W (T )
Γ R . Pour w ∈ W (T )
Γ R , notons n(w) le nombre de racines α ∈ Σ
MT (T ) telles
que l’hyperplan noyau de α sépare Ω T de w(Ω T ). On pose (w) = (−1)
n(w) . C’est
un caractère de W (T )
Γ R . En remplaçant G par M T , on définit le sous-groupe
W
MT (T ) ⊂ W (T ). Remarquons que Γ R agit trivialement sur ce sous-groupe et
que W
MT (T ) agit transitivement sur Ω T . On note C[[t(R)]] l’espace des séries
formelles sur t(R). Soient f ∈ I(G(R)), T ∈ T et Ω ∈ Ω T . On définit une fonction
φ f,T,Ω sur Ω par φ f,T,Ω (X) = I
G (exp(X), f). Cette fonction se prolonge en une
fonction C
∞ dans un voisinage de Ω. On note ϕ f,T,Ω son développement en série
formelle en 0. Pour w ∈ W R (T ) et X ∈ t(R), on a l’égalité
(1)
ϕ f,T,w(Ω) (w(X)) = ϕ f,T,Ω (X).
L’application f → (ϕ f,T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T se quotiente en une injection
I(G(R)) unip,loc → ⊕ T ∈T ,Ω∈Ω T C[[t(R)]].
Cette injection est un homéomorphisme de l’espace de départ sur son image, laquelle est fermée dans l’espace d’arrivée. L’espace I(G(R)) unip,loc est muni d’une
filtration (F
n I(G(R)) unip,loc ) n=aG−1,...,aM 0 , où M 0 est un Levi minimal. L’espace
F
n I(G(R)) unip,loc est celui des f ∈ I(G(R)) unip,loc tels que ϕ f,T,Ω = 0 pour tous
T , Ω tels que a T > n. Pour décrire le gradué Gr
n I(G(R)) unip,loc , introduisons
les notations suivantes. Pout tout T ∈ T , le groupe W R (T ) agit naturellement sur
C[[t(R)]]. On note C[[t(R)]]
W R (T ),, le sous-espace isotypique pour l’action du groupe
W R (T ), de type . Notons T
n le sous-ensemble des T ∈ T tels que a T = n. Pour
f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc et T ∈ T
n , la série ϕ f,T,ΩT appartient à C[[t(R)]]
W R (T ),, .
Pour une autre composante Ω ∈ Ω T , soit w ∈ W
MT (T ) tel que Ω = w(Ω T ). On a
alors
(2)
ϕ f,T,Ω = (w)ϕ f,T,ΩT .
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Remarque. On rappelle que M SC est le revêtement simplement connexe du groupe
dérivé de M . Le lemme serait plus facile mais plus faible si l’on remplaçait ce
groupe par l’image réciproque M sc de M dans G SC .
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur tous les groupes intervenant. Introduisons
les espaces I(G(R)) unip,loc et SI(G(R)) unip,loc de [I] 5.2 et [I] 5.5. L’indice unip
remplace comme à notre habitude l’indice O de ce paragraphe, cette classe O étant
réduite à {1}. Rappelons la description que l’on a donnée en [I] 5.2 de l’espace
I(G(R)) unip,loc . On fixe un ensemble T de représentants des classes de conjugaison
par G(R) de sous-tores maximaux de G. Pour T ∈ T , notons M T le plus petit Levi
de G contenant T . Il est déterminé par la condition A MT = A T . Notons Σ
MT (T )
l’ensemble des racines de T dans m T . Ce sont les racines imaginaires de T . Notons
t le sous-ensemble des X ∈ t tels que α(X) = 0 pour tout α ∈ Σ
MT (T ). On note
Ω T l’ensemble des composantes connexes de t (R) et on fixe un élément Ω T ∈ Ω T .
Posons W R (T ) = Norm G(R) (T )/T (R) et W (T ) = Norm G (T )/T . On a W R (T ) ⊂
W (T )
Γ R . Pour w ∈ W (T )
Γ R , notons n(w) le nombre de racines α ∈ Σ
MT (T ) telles
que l’hyperplan noyau de α sépare Ω T de w(Ω T ). On pose (w) = (−1)
n(w) . C’est
un caractère de W (T )
Γ R . En remplaçant G par M T , on définit le sous-groupe
W
MT (T ) ⊂ W (T ). Remarquons que Γ R agit trivialement sur ce sous-groupe et
que W
MT (T ) agit transitivement sur Ω T . On note C[[t(R)]] l’espace des séries
formelles sur t(R). Soient f ∈ I(G(R)), T ∈ T et Ω ∈ Ω T . On définit une fonction
φ f,T,Ω sur Ω par φ f,T,Ω (X) = I
G (exp(X), f). Cette fonction se prolonge en une
fonction C
∞ dans un voisinage de Ω. On note ϕ f,T,Ω son développement en série
formelle en 0. Pour w ∈ W R (T ) et X ∈ t(R), on a l’égalité
(1)
ϕ f,T,w(Ω) (w(X)) = ϕ f,T,Ω (X).
L’application f → (ϕ f,T,Ω ) T ∈T ,Ω∈Ω T se quotiente en une injection
I(G(R)) unip,loc → ⊕ T ∈T ,Ω∈Ω T C[[t(R)]].
Cette injection est un homéomorphisme de l’espace de départ sur son image, laquelle est fermée dans l’espace d’arrivée. L’espace I(G(R)) unip,loc est muni d’une
filtration (F
n I(G(R)) unip,loc ) n=aG−1,...,aM 0 , où M 0 est un Levi minimal. L’espace
F
n I(G(R)) unip,loc est celui des f ∈ I(G(R)) unip,loc tels que ϕ f,T,Ω = 0 pour tous
T , Ω tels que a T > n. Pour décrire le gradué Gr
n I(G(R)) unip,loc , introduisons
les notations suivantes. Pout tout T ∈ T , le groupe W R (T ) agit naturellement sur
C[[t(R)]]. On note C[[t(R)]]
W R (T ),, le sous-espace isotypique pour l’action du groupe
W R (T ), de type . Notons T
n le sous-ensemble des T ∈ T tels que a T = n. Pour
f ∈ F
n I(G(R)) unip,loc et T ∈ T
n , la série ϕ f,T,ΩT appartient à C[[t(R)]]
W R (T ),, .
Pour une autre composante Ω ∈ Ω T , soit w ∈ W
MT (T ) tel que Ω = w(Ω T ). On a
alors
(2)
ϕ f,T,Ω = (w)ϕ f,T,ΩT .