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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
pour a ∈ A M (R) et a ∈ A M (R). C’est-à-dire
ρ
G
J (γ, a) =
s∈ζZ( ˆ
M) Γ R /Z( ˆ
G) Γ R
i M (G, G
(s))
J ∈J
G (s)
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))),
ρ
G
J (γ , a ) =
s∈ζZ( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R
i M
(G , G
(s))
J ∈J
G
(s)
M
(B);J →J
transfert(σ
G
(s)
J
(δ , ξ(a ))).
On a
Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R = Z( ˆ
M ad )
Γ R = Z( ˆ
M ,ad )
Γ R = Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G )
Γ R .
Les sommations en s des deux formules ci-dessus s’identifient. Pour s fixé, on
vérifie aisément l’égalité
i M (G, G
(s)) = i M
(G , G
(s)).
Les sommations en J
d’identifient. Supposons que a et a se correspondent par
la relation a = q(a ). Les termes ξ(a) et ξ(a ) se correspondent par une relation
similaire. Pour J
fixé, on peut appliquer par récurrence l’assertion (ii) du lemme :
σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a)) = ι
∗
M
,M (σ
G
(s)
J
(δ , ξ(a ))).
En utilisant 3.7(6), on obtient
transfert(σ
G
(s)
J
(δ, ξ(a))) = ι
∗
M,M ◦ transfert(σ
G
(s)
J
(δ , ξ(a ))).
On en déduit
ρ
G
J (γ, a) = ι
∗
M,M (ρ
G
J (γ , a )).
Cela prouve (i). Le (ii) s’en déduit comme dans le lemme [III] 3.6.
V.3.5 Un résultat d’induction
On suppose G quasi-déployé. Soit M un Levi de G.
Lemme. Soit γ ∈ D unip (M SC (R)) ⊗ Mes(M SC (R))
∗ . Supposons que la distribution induite (ι
∗
MSC ,M (γ))
G soit stable. Alors il existe δ ∈ D
st
unip (M SC (R)) ⊗
Mes(M SC (R))
∗ tel que l’on ait l’égalité
(ι
∗
MSC ,M (γ))
G = (ι
∗
MSC ,M (δ))
G .