V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
519
V.3.4 Revêtement et applications ρ J et σ J
On conserve la situation précédente. Soit M un Levi de G. On note M son image
réciproque. On a M = Z × M , où M est un Levi de G . La fonction B sur G se
relève en une fonction encore notée B sur G . Les ensembles J
G
M (B) et J
G
M (B)
s’identifient et, pour J dans cet ensemble, on peut identifier les deux espaces de
germes U J relatifs aux groupes ambiants G et G , cf. [III] 3.2. On fixe une mesure
de Haar sur Z(R), qui permet d’identifier Mes(G(R)) à Mes(G (R)) et Mes(M (R))
à Mes(M (R)), cf. [III] 3.1.
Lemme.
(i) Soient J ∈ J
G
M (B) et γ ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Supposons
ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Alors on a l’égalité
ρ
G
J ◦ ι
∗
M,M (γ ) = ι
∗
M,M ◦ ρ
G
J (γ ).
(ii) Supposons G quasi-déployé. Soient J ∈ J
G
M (B) et δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗
Mes(M (R))
∗ . Alors on a l’égalité
σ
G
J ◦ ι
∗
M,M (δ ) = ι
∗
M,M ◦ σ
G
J (δ ).
Remarque. Les ι
∗
M,M intervenant dans les membres de droite sont en fait tensorisés avec l’identité de U J .
Preuve. Pour simplifier, on abandonne les espaces de mesures. L’action de M (R)
sur M (R) se prolonge en une action G(R) sur G (R). Par simple transport de
structure, on voit alors que
p ◦ ρ
G
J (γ ) = ρ
G
J ◦ p(γ ).
Parce que ι
∗
M,M ◦ p = ι
∗
M,M , le membre de gauche de l’égalité du (i) ne dépend que de p(γ ). Pour la même raison et grâce à l’égalité ci-dessus, on voit
que c’est aussi le cas du membre de droite. On peut alors reformuler l’assertion (i) de la façon suivante. Soit γ ∈ D tr-unip (M (R)). Alors il existe γ ∈
D tr-unip (M (R)) tel que ι
∗
G,G (γ ) = γ et que l’égalité du (i) soit vérifiée. Il suffit
de démontrer cette assertion quand γ parcourt un ensemble de générateurs de
D tr-unip (M (R)). Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)), on choisit γ ∈ D orb,unip (M (R)) et
l’égalité résulte des définitions comme dans le cas non-archimédien. Soit maintenant M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de M , avec
M
= M si G est quasi-déployé. Considérons un élément γ ∈ D tr-orb,unip (M (R))
de la forme transfert(δ), où δ ∈ D
st
tr-unip (M
). Comme dans la preuve du lemme
précédent (où l’on remplace le groupe G par M ), on construit une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ζ ) de M qui est elliptique et relevante. On choisit
δ ∈ D
st
tr-unip (M
) tel que ι
∗
M
,M (δ ) = δ. On peut choisir γ = transfert(δ ).
D’après 2.4(3), on a
ρ
G
J (γ, a) = ρ
G,E
J (M
, δ, a) et ρ
G
J (γ , a ) = ρ
G,E
J
(M
, δ , a )
519
V.3.4 Revêtement et applications ρ J et σ J
On conserve la situation précédente. Soit M un Levi de G. On note M son image
réciproque. On a M = Z × M , où M est un Levi de G . La fonction B sur G se
relève en une fonction encore notée B sur G . Les ensembles J
G
M (B) et J
G
M (B)
s’identifient et, pour J dans cet ensemble, on peut identifier les deux espaces de
germes U J relatifs aux groupes ambiants G et G , cf. [III] 3.2. On fixe une mesure
de Haar sur Z(R), qui permet d’identifier Mes(G(R)) à Mes(G (R)) et Mes(M (R))
à Mes(M (R)), cf. [III] 3.1.
Lemme.
(i) Soient J ∈ J
G
M (B) et γ ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Supposons
ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Alors on a l’égalité
ρ
G
J ◦ ι
∗
M,M (γ ) = ι
∗
M,M ◦ ρ
G
J (γ ).
(ii) Supposons G quasi-déployé. Soient J ∈ J
G
M (B) et δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗
Mes(M (R))
∗ . Alors on a l’égalité
σ
G
J ◦ ι
∗
M,M (δ ) = ι
∗
M,M ◦ σ
G
J (δ ).
Remarque. Les ι
∗
M,M intervenant dans les membres de droite sont en fait tensorisés avec l’identité de U J .
Preuve. Pour simplifier, on abandonne les espaces de mesures. L’action de M (R)
sur M (R) se prolonge en une action G(R) sur G (R). Par simple transport de
structure, on voit alors que
p ◦ ρ
G
J (γ ) = ρ
G
J ◦ p(γ ).
Parce que ι
∗
M,M ◦ p = ι
∗
M,M , le membre de gauche de l’égalité du (i) ne dépend que de p(γ ). Pour la même raison et grâce à l’égalité ci-dessus, on voit
que c’est aussi le cas du membre de droite. On peut alors reformuler l’assertion (i) de la façon suivante. Soit γ ∈ D tr-unip (M (R)). Alors il existe γ ∈
D tr-unip (M (R)) tel que ι
∗
G,G (γ ) = γ et que l’égalité du (i) soit vérifiée. Il suffit
de démontrer cette assertion quand γ parcourt un ensemble de générateurs de
D tr-unip (M (R)). Pour γ ∈ D orb,unip (M (R)), on choisit γ ∈ D orb,unip (M (R)) et
l’égalité résulte des définitions comme dans le cas non-archimédien. Soit maintenant M
= (M
, M
, ζ) une donnée endoscopique elliptique et relevante de M , avec
M
= M si G est quasi-déployé. Considérons un élément γ ∈ D tr-orb,unip (M (R))
de la forme transfert(δ), où δ ∈ D
st
tr-unip (M
). Comme dans la preuve du lemme
précédent (où l’on remplace le groupe G par M ), on construit une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ζ ) de M qui est elliptique et relevante. On choisit
δ ∈ D
st
tr-unip (M
) tel que ι
∗
M
,M (δ ) = δ. On peut choisir γ = transfert(δ ).
D’après 2.4(3), on a
ρ
G
J (γ, a) = ρ
G,E
J (M
, δ, a) et ρ
G
J (γ , a ) = ρ
G,E
J
(M
, δ , a )