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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Que G soit quasi-déployé ou pas, H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) s’identifie au groupe des
caractères de G ab (R). En effet, en fixant un sous-tore maximal T de G défini
sur R, ces deux groupes s’identifient respectivement à H
1,0 (W R ; ˆ
T → ˆ
T ad ) et
H
1,0 (Γ R ; T sc → T ) et on connaît l’assertion pour ces derniers groupes. L’assertion
(9) équivaut à dire que, si G est quasi-déployé, l’homomorphisme G(R) → G ab (R)
est surjectif. On a démontré cela en 2.1(2).
Fixons s ∈ ˆ
G qui se projette sur (1, s ) par l’homomorphisme de la suite
(6). Notons G
l’image réciproque de ˆ
Z × G
dans
L G. Il agit sur ˆ
G s et munit ce
groupe d’une action galoisienne. On introduit un groupe G
quasi-déployé sur R
dont ˆ
G s est le groupe dual. Posons G
= (G
, G
, s). Montrons que c’est une donnée
endoscopique pour G. La seule condition non évidente est la suivante. Pour w ∈ W R
et (g, w) ∈ G
, on a une égalité sgw(s)
−1 = a(w)g, où a est un cocycle de W R dans
Z( ˆ
G). Il faut voir que ce cocycle est un cobord. En reprenant les définitions de [I]
2.7, on voit que la restriction de ω à G(R) est précisément associée à la classe
de a. L’hypothèse que cette restriction est triviale jointe à (9) entraîne que a est
un cobord. On poursuit alors la démonstration comme ci-dessus. En appliquant
(8) par récurrence à G
et G
, on a ι
∗
G
,G (δ ) ∈ D tr-unip (G
). Puisque ι
∗
G
,G
préserve la stabilité, on a même ι
∗
G
,G (δ ) ∈ D
st
tr-unip (G
). Alors
ι
∗
G,G (γ ) = ι
∗
G,G ◦ transfert(δ ) = transfert ◦ι
∗
G
,G (δ ).
Ce dernier élément appartient à transfert(D
st
tr-unip (G
)) qui est inclus dans
D tr-unip (G(R)). Cela prouve (8).
Les premières assertions de (ii) résultent de (8) comme (i) résultait de (5).
Comme on l’a dit, cf. (4), p est l’identité sur les distributions stables. A
fortiori, p(D
st
tr-unip (G (R))) = D
st
tr-unip (G (R)), ce qui est la dernière égalité de
l’énoncé. On a aussi
D
st
tr-unip (G (R)) = p(D
st
tr-unip (G (R))) ⊂ p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R))
⊂ D tr-unip (G (R)) ∩ D
st
g´ eom (G (R))
= D
st
tr-unip (G (R)).
Les inclusions de cette suite sont forcément des égalités, donc
D
st
tr-unip (G (R)) = p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R)).
Puisque ι
∗
G,G et ι
∗
G,G sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre entre
D tr-unip (G(R)) et p(D tr-unip (G (R))) et qu’ils préservent la stabilité, on a
ι
∗
G,G (D
st
tr-unip (G(R))) = p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R)) = D
st
tr-unip (G (R)).
C’est l’avant-dernière égalité de (ii) qu’il restait à prouver.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Que G soit quasi-déployé ou pas, H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) s’identifie au groupe des
caractères de G ab (R). En effet, en fixant un sous-tore maximal T de G défini
sur R, ces deux groupes s’identifient respectivement à H
1,0 (W R ; ˆ
T → ˆ
T ad ) et
H
1,0 (Γ R ; T sc → T ) et on connaît l’assertion pour ces derniers groupes. L’assertion
(9) équivaut à dire que, si G est quasi-déployé, l’homomorphisme G(R) → G ab (R)
est surjectif. On a démontré cela en 2.1(2).
Fixons s ∈ ˆ
G qui se projette sur (1, s ) par l’homomorphisme de la suite
(6). Notons G
l’image réciproque de ˆ
Z × G
dans
L G. Il agit sur ˆ
G s et munit ce
groupe d’une action galoisienne. On introduit un groupe G
quasi-déployé sur R
dont ˆ
G s est le groupe dual. Posons G
= (G
, G
, s). Montrons que c’est une donnée
endoscopique pour G. La seule condition non évidente est la suivante. Pour w ∈ W R
et (g, w) ∈ G
, on a une égalité sgw(s)
−1 = a(w)g, où a est un cocycle de W R dans
Z( ˆ
G). Il faut voir que ce cocycle est un cobord. En reprenant les définitions de [I]
2.7, on voit que la restriction de ω à G(R) est précisément associée à la classe
de a. L’hypothèse que cette restriction est triviale jointe à (9) entraîne que a est
un cobord. On poursuit alors la démonstration comme ci-dessus. En appliquant
(8) par récurrence à G
et G
, on a ι
∗
G
,G (δ ) ∈ D tr-unip (G
). Puisque ι
∗
G
,G
préserve la stabilité, on a même ι
∗
G
,G (δ ) ∈ D
st
tr-unip (G
). Alors
ι
∗
G,G (γ ) = ι
∗
G,G ◦ transfert(δ ) = transfert ◦ι
∗
G
,G (δ ).
Ce dernier élément appartient à transfert(D
st
tr-unip (G
)) qui est inclus dans
D tr-unip (G(R)). Cela prouve (8).
Les premières assertions de (ii) résultent de (8) comme (i) résultait de (5).
Comme on l’a dit, cf. (4), p est l’identité sur les distributions stables. A
fortiori, p(D
st
tr-unip (G (R))) = D
st
tr-unip (G (R)), ce qui est la dernière égalité de
l’énoncé. On a aussi
D
st
tr-unip (G (R)) = p(D
st
tr-unip (G (R))) ⊂ p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R))
⊂ D tr-unip (G (R)) ∩ D
st
g´ eom (G (R))
= D
st
tr-unip (G (R)).
Les inclusions de cette suite sont forcément des égalités, donc
D
st
tr-unip (G (R)) = p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R)).
Puisque ι
∗
G,G et ι
∗
G,G sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre entre
D tr-unip (G(R)) et p(D tr-unip (G (R))) et qu’ils préservent la stabilité, on a
ι
∗
G,G (D
st
tr-unip (G(R))) = p(D tr-unip (G (R))) ∩ D
st
g´ eom (G (R)) = D
st
tr-unip (G (R)).
C’est l’avant-dernière égalité de (ii) qu’il restait à prouver.