V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
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relevante. Remarquons que les groupes G
et G
sont dans la même situation que
G et G. C’est-à-dire que l’on a une suite exacte
1 → Ξ b → Z × G
→ G
→ 1.
On peut appliquer par récurrence la relation (5) à G
et G
. Modulo quelques
formalités, on peut aussi bien l’appliquer à G
et G
. On obtient que δ appartient
à l’espace ι
∗
G
,G (D tr-unip (G
)). Mais, d’après (3), l’application ι
∗
G
,G ◦ ι
∗
G ,G
est
l’identité sur cet espace. Posons δ = ι
∗
G ,G
(δ). Alors δ = ι
∗
G
,G (δ ). D’après le
(ii) du lemme appliqué par récurrence, on a δ ∈ D
st
tr-unip (G
). On a l’égalité
(7)
transfert ◦ι
∗
G
,G = ι
∗
G,G ◦ transfert
cf. [III] 3.7(4). On en déduit γ = ι
∗
G,G ◦transfert(δ ). Mais transfert(δ ) appartient
à D tr-unip (G (R)) par définition de cet espace. Cela démontre que γ appartient au
membre de droite de (5). Cela prouve cette assertion.
Le membre de droite de (5) est contenu dans D g´ eom (V ) d’après (2). La
relation (3) entraîne que, pour tout sous-espace X de D g´ eom (V ) , les homomorphismes ι
∗
G,G et ι
∗
G,G se restreignent en des isomorphismes inverses l’un de l’autre
entre X et ι
∗
G,G (X). Donc (5) entraîne la première assertion de l’énoncé. Soit
γ ∈ D tr-unip (G(R)), écrivons γ = ι
∗
G,G (γ ), avec γ ∈ D tr-unip (G (R)). Puisque
γ ∈ D g´ eom (V ) comme on vient de le voir, la relation (3) entraîne que ι
∗
G,G (γ) =
p(γ ). D’où la première inclusion de (i). Par simple transport de structure, l’espace
D tr-unip (G (R)) est stable par tout automorphisme de G . En particulier, il est
stable par l’action de G(R). On en déduit p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R)),
ce qui achève la preuve de (i).
Supposons G quasi-déployé. On va prouver l’inclusion
(8)
ι
∗
G,G (D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G(R)).
De nouveau, il suffit de prouver que, pour γ dans un ensemble de générateurs de
D tr-unip (G (R)), on a ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (G(R)). C’est clair si
γ ∈ D orb,unip (G (R)).
Soit G
= (G
, G
, s ) une donnée endoscopique elliptique et relevante pour G ,
telle que G
= G. Soit γ ∈ D tr-unip (G (R)) de la forme transfert(δ ), avec δ ∈
D tr-unip (G
). Rappelons qu’à la donnée endoscopique G
est associé un caractère
ω de G ,ad (R) selon lequel se transforme le facteur de transfert, cf. [I] 2.7. Il
se restreint en un caractère de G(R). Si cette restriction est non triviale, l’image
de transfert(δ ) par la projection p est nulle. Autrement dit p(γ ) = 0. Mais
ι
∗
G,G ◦ p = ι
∗
G,G , donc ι
∗
G,G (γ ) = 0. A fortiori, ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (G(R)). On
est ramené au cas où la restriction de ω à G(R) est triviale. Montrons que
(9) pour G quasi-déployé, l’homomorphisme de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) dans le groupe
des caractères de G(R) est bijective.
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relevante. Remarquons que les groupes G
et G
sont dans la même situation que
G et G. C’est-à-dire que l’on a une suite exacte
1 → Ξ b → Z × G
→ G
→ 1.
On peut appliquer par récurrence la relation (5) à G
et G
. Modulo quelques
formalités, on peut aussi bien l’appliquer à G
et G
. On obtient que δ appartient
à l’espace ι
∗
G
,G (D tr-unip (G
)). Mais, d’après (3), l’application ι
∗
G
,G ◦ ι
∗
G ,G
est
l’identité sur cet espace. Posons δ = ι
∗
G ,G
(δ). Alors δ = ι
∗
G
,G (δ ). D’après le
(ii) du lemme appliqué par récurrence, on a δ ∈ D
st
tr-unip (G
). On a l’égalité
(7)
transfert ◦ι
∗
G
,G = ι
∗
G,G ◦ transfert
cf. [III] 3.7(4). On en déduit γ = ι
∗
G,G ◦transfert(δ ). Mais transfert(δ ) appartient
à D tr-unip (G (R)) par définition de cet espace. Cela démontre que γ appartient au
membre de droite de (5). Cela prouve cette assertion.
Le membre de droite de (5) est contenu dans D g´ eom (V ) d’après (2). La
relation (3) entraîne que, pour tout sous-espace X de D g´ eom (V ) , les homomorphismes ι
∗
G,G et ι
∗
G,G se restreignent en des isomorphismes inverses l’un de l’autre
entre X et ι
∗
G,G (X). Donc (5) entraîne la première assertion de l’énoncé. Soit
γ ∈ D tr-unip (G(R)), écrivons γ = ι
∗
G,G (γ ), avec γ ∈ D tr-unip (G (R)). Puisque
γ ∈ D g´ eom (V ) comme on vient de le voir, la relation (3) entraîne que ι
∗
G,G (γ) =
p(γ ). D’où la première inclusion de (i). Par simple transport de structure, l’espace
D tr-unip (G (R)) est stable par tout automorphisme de G . En particulier, il est
stable par l’action de G(R). On en déduit p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R)),
ce qui achève la preuve de (i).
Supposons G quasi-déployé. On va prouver l’inclusion
(8)
ι
∗
G,G (D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G(R)).
De nouveau, il suffit de prouver que, pour γ dans un ensemble de générateurs de
D tr-unip (G (R)), on a ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (G(R)). C’est clair si
γ ∈ D orb,unip (G (R)).
Soit G
= (G
, G
, s ) une donnée endoscopique elliptique et relevante pour G ,
telle que G
= G. Soit γ ∈ D tr-unip (G (R)) de la forme transfert(δ ), avec δ ∈
D tr-unip (G
). Rappelons qu’à la donnée endoscopique G
est associé un caractère
ω de G ,ad (R) selon lequel se transforme le facteur de transfert, cf. [I] 2.7. Il
se restreint en un caractère de G(R). Si cette restriction est non triviale, l’image
de transfert(δ ) par la projection p est nulle. Autrement dit p(γ ) = 0. Mais
ι
∗
G,G ◦ p = ι
∗
G,G , donc ι
∗
G,G (γ ) = 0. A fortiori, ι
∗
G,G (γ ) ∈ D tr-unip (G(R)). On
est ramené au cas où la restriction de ω à G(R) est triviale. Montrons que
(9) pour G quasi-déployé, l’homomorphisme de H
1 (W R ; Z( ˆ
G)) dans le groupe
des caractères de G(R) est bijective.