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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
élément de G(R) s’identifie à celle d’un élément de G ,AD (R). Or toute distribution
stable sur G (R) est invariante par conjugaison par G ,AD (R). Il en résulte que la
projection p de la relation (2) est l’identité sur D
st
g´ eom (V ). A fortiori
(4) l’application ι
∗
G,G : D
st
unip (G (R)) → D
st
unip (G(R)) est injective.
Lemme.
(i) Les homomorphismes ι
∗
G,G et ι
∗
G,G se restreignent en des isomorphismes
inverses l’un de l’autre entre D tr-unip (G(R)) et ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))). On a
les inclusions
ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))) ⊂ p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R)).
(ii) Si G est quasi-déployé, on a les relations
ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))) = p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R))
et
ι
∗
G,G (D
st
tr-unip (G(R))) = p(D
st
tr-unip (G (R))) = D
st
tr-unip (G (R)).
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur chacun des groupes. On va prouver
l’inclusion
(5)
D tr-unip (G(R)) ⊂ ι
∗
G,G (D tr-unip (G (R))).
Il suffit de démontrer qu’un ensemble de générateurs de D tr-unip (G(R)) est contenu
dans le membre de droite. D’après 2.2(3), l’espace D tr-unip (G(R)) est engendré par
D orb,unip (G(R)) et les espaces transfert(D
st
tr-unip (G
)), où G
parcourt les données
endoscopiques elliptiques et relevantes de G, avec G
= G si G est quasi-déployé.
Un élément de D orb,unip (G(R)) appartient l’espace de droite de (5) : tout élément
unipotent de G(R) est l’image naturelle d’un élément unipotent de G (R). Soit
G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique elliptique et relevante de G, avec G
= G
si G est quasi-déployé. Considérons un élément γ ∈ D tr-unip (G(R)) de la forme
transfert(δ), où δ ∈ D
st
tr-unip (G
). Dualement à la suite exacte (1), on a une suite
exacte
(6)
1 → ˆ
Ξ b → ˆ
G → ˆ
Z × ˆ
G → 1,
où ˆ
Ξ b est un sous-groupe fini central de ˆ
G. L’élément s ∈ ˆ
G s’envoie sur un élément
(z, s ) de ˆ
Z × ˆ
G . En notant ˆ
G
la composante neutre de Z ˆ
G (s ), on a la suite
exacte
1 → ˆ
Ξ b → ˆ
G
→ ˆ
Z × ˆ
G
→ 1.
Le groupe G
/ ˆ
Ξ b contient ˆ
Z donc est de la forme ˆ
Z × G
, où G
est un sous-groupe
de
L G . Ce groupe définit une action galoisienne sur ˆ
G
. On introduit un groupe
quasi-déployé G
sur R dont le groupe dual soit ˆ
G
. Alors G
= (G
, G
, s ) est
une donnée endoscopique pour G . On vérifie aisément qu’elle est elliptique et
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
élément de G(R) s’identifie à celle d’un élément de G ,AD (R). Or toute distribution
stable sur G (R) est invariante par conjugaison par G ,AD (R). Il en résulte que la
projection p de la relation (2) est l’identité sur D
st
g´ eom (V ). A fortiori
(4) l’application ι
∗
G,G : D
st
unip (G (R)) → D
st
unip (G(R)) est injective.
Lemme.
(i) Les homomorphismes ι
∗
G,G et ι
∗
G,G se restreignent en des isomorphismes
inverses l’un de l’autre entre D tr-unip (G(R)) et ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))). On a
les inclusions
ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))) ⊂ p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R)).
(ii) Si G est quasi-déployé, on a les relations
ι
∗
G,G (D tr-unip (G(R))) = p(D tr-unip (G (R))) ⊂ D tr-unip (G (R))
et
ι
∗
G,G (D
st
tr-unip (G(R))) = p(D
st
tr-unip (G (R))) = D
st
tr-unip (G (R)).
Preuve. On fixe des mesures de Haar sur chacun des groupes. On va prouver
l’inclusion
(5)
D tr-unip (G(R)) ⊂ ι
∗
G,G (D tr-unip (G (R))).
Il suffit de démontrer qu’un ensemble de générateurs de D tr-unip (G(R)) est contenu
dans le membre de droite. D’après 2.2(3), l’espace D tr-unip (G(R)) est engendré par
D orb,unip (G(R)) et les espaces transfert(D
st
tr-unip (G
)), où G
parcourt les données
endoscopiques elliptiques et relevantes de G, avec G
= G si G est quasi-déployé.
Un élément de D orb,unip (G(R)) appartient l’espace de droite de (5) : tout élément
unipotent de G(R) est l’image naturelle d’un élément unipotent de G (R). Soit
G
= (G
, G
, s) une donnée endoscopique elliptique et relevante de G, avec G
= G
si G est quasi-déployé. Considérons un élément γ ∈ D tr-unip (G(R)) de la forme
transfert(δ), où δ ∈ D
st
tr-unip (G
). Dualement à la suite exacte (1), on a une suite
exacte
(6)
1 → ˆ
Ξ b → ˆ
G → ˆ
Z × ˆ
G → 1,
où ˆ
Ξ b est un sous-groupe fini central de ˆ
G. L’élément s ∈ ˆ
G s’envoie sur un élément
(z, s ) de ˆ
Z × ˆ
G . En notant ˆ
G
la composante neutre de Z ˆ
G (s ), on a la suite
exacte
1 → ˆ
Ξ b → ˆ
G
→ ˆ
Z × ˆ
G
→ 1.
Le groupe G
/ ˆ
Ξ b contient ˆ
Z donc est de la forme ˆ
Z × G
, où G
est un sous-groupe
de
L G . Ce groupe définit une action galoisienne sur ˆ
G
. On introduit un groupe
quasi-déployé G
sur R dont le groupe dual soit ˆ
G
. Alors G
= (G
, G
, s ) est
une donnée endoscopique pour G . On vérifie aisément qu’elle est elliptique et