V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
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naturelle de G ad (R) G ,ad (R) et assez petit pour que q se restreigne en un isomorphisme de Z(R)×V sur V = q(Z(R)×V ). On a défini en [III] 3.1 des applications linéaires ι
∗
G,G : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V ) et ι
∗
G,G : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V ).
Leur définition conserve un sens sur le corps de base R. Leur description est un
peu plus compliquée que dans le cas non-archimédien, car les distributions sur
Z(R) sont un peu plus compliquées. Notons D g´ eom (V ) le sous-espace des éléments de D g´ eom (V ) qui s’annulent sur toute fonction f ∈ C
∞
c (V ) dont la restriction à q(V ) est nulle. Notons D g´ eom (V )
G(R) le sous-espace des éléments de
D g´ eom (V ) qui sont invariants par l’action de G(R). On a une projection naturelle
p : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V )
G(R) . L’application ι
∗
G,G se factorise en
(2)
D g´ eom (V )
p
→ D g´ eom (V )
G(R)
ι
∗
G ,G
D g´ eom (V ) ⊂ D g´ eom (V ).
En sens inverse, rappelons que tout élément H ∈ Sym(z) définit un opérateur
différentiel ∂ H sur C
∞
c (Z(R)). Pour z ∈ Z(R) et H ∈ Sym(z), notons z∂ H
l’élément de D g´ eom (Z(R)) défini par I
Z (z∂ H , f) = (∂ H f )(z). Alors tout élément
γ ∈ D g´ eom (Z(R)) s’écrit de façon unique γ =
z∈Z(R) z∂ Hz , avec H z = 0 pour
presque tout z. Fixons une base (H i ) i∈N de Sym(z) formée d’éléments homogènes.
On suppose H 0 = 1. Alors tout élément γ ∈ D g´ eom (V ) s’écrit de façon unique sous
la forme
γ =
z∈Z(R)
i∈N
z∂ Hi ⊗ γ z,i ,
où γ z,i est un élément de D g´ eom (V ) .
Notons γ z,i,, l’unique élément de D g´ eom (V )
G(R) tel que ι
∗
G,G (γ z,i,, ) = γ z,i .
On a alors
(3)
ι
∗
G,G (γ) =
z∈Z(R)
γ z,0,, .
L’application ι
∗
G,G se restreint en une application
D unip (G (R)) → D unip (G(R)).
Contrairement au cas non-archimédien, elle n’est pas surjective. Par exemple, pour
un élément non nul H ∈ z(R), la distribution f →
d
dt f (exp(tH)) |t=0 sur C
∞
c (V )
est à support unipotent mais n’appartient pas à l’image. Il est toutefois clair que
l’application se restreint en une application surjective
D orb,unip (G (R)) → D orb,unip (G(R)).
Supposons G quasi-déployé. Les constructions s’adaptent aux distributions
stables (en supposant V invariant par conjugaison stable) et nos applications
se restreignent en des applications entre les espaces D
st
g´ eom (V ) et D
st
g´ eom (V ). Les
groupes G et G ont même groupe adjoint. L’action par conjugaison sur G d’un
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naturelle de G ad (R) G ,ad (R) et assez petit pour que q se restreigne en un isomorphisme de Z(R)×V sur V = q(Z(R)×V ). On a défini en [III] 3.1 des applications linéaires ι
∗
G,G : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V ) et ι
∗
G,G : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V ).
Leur définition conserve un sens sur le corps de base R. Leur description est un
peu plus compliquée que dans le cas non-archimédien, car les distributions sur
Z(R) sont un peu plus compliquées. Notons D g´ eom (V ) le sous-espace des éléments de D g´ eom (V ) qui s’annulent sur toute fonction f ∈ C
∞
c (V ) dont la restriction à q(V ) est nulle. Notons D g´ eom (V )
G(R) le sous-espace des éléments de
D g´ eom (V ) qui sont invariants par l’action de G(R). On a une projection naturelle
p : D g´ eom (V ) → D g´ eom (V )
G(R) . L’application ι
∗
G,G se factorise en
(2)
D g´ eom (V )
p
→ D g´ eom (V )
G(R)
ι
∗
G ,G
D g´ eom (V ) ⊂ D g´ eom (V ).
En sens inverse, rappelons que tout élément H ∈ Sym(z) définit un opérateur
différentiel ∂ H sur C
∞
c (Z(R)). Pour z ∈ Z(R) et H ∈ Sym(z), notons z∂ H
l’élément de D g´ eom (Z(R)) défini par I
Z (z∂ H , f) = (∂ H f )(z). Alors tout élément
γ ∈ D g´ eom (Z(R)) s’écrit de façon unique γ =
z∈Z(R) z∂ Hz , avec H z = 0 pour
presque tout z. Fixons une base (H i ) i∈N de Sym(z) formée d’éléments homogènes.
On suppose H 0 = 1. Alors tout élément γ ∈ D g´ eom (V ) s’écrit de façon unique sous
la forme
γ =
z∈Z(R)
i∈N
z∂ Hi ⊗ γ z,i ,
où γ z,i est un élément de D g´ eom (V ) .
Notons γ z,i,, l’unique élément de D g´ eom (V )
G(R) tel que ι
∗
G,G (γ z,i,, ) = γ z,i .
On a alors
(3)
ι
∗
G,G (γ) =
z∈Z(R)
γ z,0,, .
L’application ι
∗
G,G se restreint en une application
D unip (G (R)) → D unip (G(R)).
Contrairement au cas non-archimédien, elle n’est pas surjective. Par exemple, pour
un élément non nul H ∈ z(R), la distribution f →
d
dt f (exp(tH)) |t=0 sur C
∞
c (V )
est à support unipotent mais n’appartient pas à l’image. Il est toutefois clair que
l’application se restreint en une application surjective
D orb,unip (G (R)) → D orb,unip (G(R)).
Supposons G quasi-déployé. Les constructions s’adaptent aux distributions
stables (en supposant V invariant par conjugaison stable) et nos applications
se restreignent en des applications entre les espaces D
st
g´ eom (V ) et D
st
g´ eom (V ). Les
groupes G et G ont même groupe adjoint. L’action par conjugaison sur G d’un