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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
comme en 2.5(1). Les données endoscopiques M
i qui apparaissent ici vérifient
M
i = M si G est quasi-déployé. Pour J ∈ J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position
générale et proche de 1, posons
ρ
G
J
(γ, a) = ρ
G
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
G,E
J (M
i , δ i , a).
Comme dans le cas non-archimédien (cf. [II] 3.2), ρ
G
J (γ orb , a) est l’image de
ρ
GJ
J (γ orb , a) par la projection
(2)
(D unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ (D unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
G
unip .
La même preuve qu’en [III] proposition 1.4(i) montre que, pour tout i = 1, . . . , n,
ρ
G,E
J (M
i , δ i , a) est l’image de ρ
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a) par la projection (2). Il en résulte
que ρ
G
J
(γ, a) est l’image par cette projection de l’élément
ρ
GJ
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a).
Supposons J non maximal. Alors dim(G J,SC ) < dim(G SC ) et, par récurrence,
le terme ci-dessus est indépendant de la décomposition (1) : il vaut ρ
GJ
J (γ, a).
Il en résulte que ρ
G
J
(γ, a) est indépendant de cette décomposition. Cela prouve
l’assertion (1) de 2.6.
Supposons G quasi-déployé. Soient δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , J ∈
J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Comme on l’a dit en 2.6,
on définit σ
G
J (δ, a) par l’égalité 2.4(13). La même preuve qu’en [III] proposition
1.2(i) montre que
(3) σ
G
J (δ, a) est l’image de i
GJ
J σ
GJ
J (δ, a) par la projection (2).
Si J n’est pas maximal, on sait par récurrence que σ
GJ
J (δ, a) est stable. Il en
résulte que σ
GJ
J (δ, a) l’est aussi. Cela prouve l’assertion (2) de 2.6.
On a ainsi vérifié les trois assertions dont on a vu en 2.6 qu’elles suffisaient
à réaliser le programme de 2.4.
V.3.3 Passage à un revêtement
Considérons deux groupes G et G réductifs et connexes et un sous-tore Z ⊂ Z(G).
On pose G = Z × G et on suppose donnée une suite exacte
(1)
1 → Ξ b → G
q
→ G → 1
où Ξ b est un sous-groupe fini central de G et où q se restreint à Z en le plongement
naturel. Considérons un voisinage ouvert V de 1 dans G (R), invariant par l’action
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
comme en 2.5(1). Les données endoscopiques M
i qui apparaissent ici vérifient
M
i = M si G est quasi-déployé. Pour J ∈ J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position
générale et proche de 1, posons
ρ
G
J
(γ, a) = ρ
G
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
G,E
J (M
i , δ i , a).
Comme dans le cas non-archimédien (cf. [II] 3.2), ρ
G
J (γ orb , a) est l’image de
ρ
GJ
J (γ orb , a) par la projection
(2)
(D unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
GJ
unip
→ (D unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
G
unip .
La même preuve qu’en [III] proposition 1.4(i) montre que, pour tout i = 1, . . . , n,
ρ
G,E
J (M
i , δ i , a) est l’image de ρ
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a) par la projection (2). Il en résulte
que ρ
G
J
(γ, a) est l’image par cette projection de l’élément
ρ
GJ
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
GJ ,E
J
(M
i , δ i , a).
Supposons J non maximal. Alors dim(G J,SC ) < dim(G SC ) et, par récurrence,
le terme ci-dessus est indépendant de la décomposition (1) : il vaut ρ
GJ
J (γ, a).
Il en résulte que ρ
G
J
(γ, a) est indépendant de cette décomposition. Cela prouve
l’assertion (1) de 2.6.
Supposons G quasi-déployé. Soient δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , J ∈
J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position générale et proche de 1. Comme on l’a dit en 2.6,
on définit σ
G
J (δ, a) par l’égalité 2.4(13). La même preuve qu’en [III] proposition
1.2(i) montre que
(3) σ
G
J (δ, a) est l’image de i
GJ
J σ
GJ
J (δ, a) par la projection (2).
Si J n’est pas maximal, on sait par récurrence que σ
GJ
J (δ, a) est stable. Il en
résulte que σ
GJ
J (δ, a) l’est aussi. Cela prouve l’assertion (2) de 2.6.
On a ainsi vérifié les trois assertions dont on a vu en 2.6 qu’elles suffisaient
à réaliser le programme de 2.4.
V.3.3 Passage à un revêtement
Considérons deux groupes G et G réductifs et connexes et un sous-tore Z ⊂ Z(G).
On pose G = Z × G et on suppose donnée une suite exacte
(1)
1 → Ξ b → G
q
→ G → 1
où Ξ b est un sous-groupe fini central de G et où q se restreint à Z en le plongement
naturel. Considérons un voisinage ouvert V de 1 dans G (R), invariant par l’action