V.3. Extension des définitions, cas des groupes non tordus
513
V.2.7 Réduction des conditions imposées dans le cas (B)
On considère le cas (B) de 2.4. On n’a pas besoin de l’analogue de l’hypothèse
(Hyp) de 2.5 ou 2.6 : elle est vérifiée d’après la proposition 1.13. Par contre, il
s’avère que la distinction d’un élément maximal de J
˜
G
˜
M
(B O ) n’est plus pertinente.
On impose
(1) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), il existe une application linéaire ρ
˜
G
J vérifiant les
propriétés (1) et (3) de 2.4.
On définit l’application σ
˜
G
J par la formule 2.4(13). On impose
(2) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), tout δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et tout a ∈
A M (R) en position générale et proche de 1, σ
˜
G
J (δ, a) appartient à (D
st
g´ eom (O)⊗
Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st, ˜
G
O .
A l’aide de ces deux hypothèses, la même preuve que dans le paragraphe
précédent réalise notre programme.
V.3 Extension des définitions, cas des groupes non tordus
V.3.1 Rappel des résultats d’Arthur
Dans cette section, on considère un groupe non tordu, c’est-à-dire un triplet
(G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G et a = 1. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8.
On affaiblit nos hypothèses de récurrence comme on l’a expliqué en 2.6. Soient
M un Levi de G et M
une donnée endoscopique de M elliptique et relevante. Le
résultat suivant a été prouvé par Arthur ([22] théorème 1.1).
(1) Soit δ ∈ D
st
orb (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ dont le support est formé d’éléments
fortement G-réguliers et soit f ∈ I(G(R)) ⊗ Mes(G(R)). Alors on a l’égalité
I
G
M (transfert(δ), f ) = I
G,E
M (M
, δ, f ).
Autrement dit, l’hypothèse (Hyp) de 2.6 est vérifiée. Rappelons qu’une variante du lemme 1.11 montre que cet énoncé s’étend aux éléments
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ .
V.3.2 Réalisation du programme de 2.4
Soient M un Levi de G et J ∈ J
G
M (B). En [II] 3.1, on a associé à J un groupe G J
contenant M comme Levi. On a dim(G J,SC ) ≤ dim(G SC ) et cette inégalité est
stricte si J n’est pas l’élément maximal. Soit γ ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
On l’écrit
(1)
γ = γ orb +
i=1,...,n
transfert(δ i )
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V.2.7 Réduction des conditions imposées dans le cas (B)
On considère le cas (B) de 2.4. On n’a pas besoin de l’analogue de l’hypothèse
(Hyp) de 2.5 ou 2.6 : elle est vérifiée d’après la proposition 1.13. Par contre, il
s’avère que la distinction d’un élément maximal de J
˜
G
˜
M
(B O ) n’est plus pertinente.
On impose
(1) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), il existe une application linéaire ρ
˜
G
J vérifiant les
propriétés (1) et (3) de 2.4.
On définit l’application σ
˜
G
J par la formule 2.4(13). On impose
(2) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ), tout δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ et tout a ∈
A M (R) en position générale et proche de 1, σ
˜
G
J (δ, a) appartient à (D
st
g´ eom (O)⊗
Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st, ˜
G
O .
A l’aide de ces deux hypothèses, la même preuve que dans le paragraphe
précédent réalise notre programme.
V.3 Extension des définitions, cas des groupes non tordus
V.3.1 Rappel des résultats d’Arthur
Dans cette section, on considère un groupe non tordu, c’est-à-dire un triplet
(G, ˜
G, a) tel que ˜
G = G et a = 1. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8.
On affaiblit nos hypothèses de récurrence comme on l’a expliqué en 2.6. Soient
M un Levi de G et M
une donnée endoscopique de M elliptique et relevante. Le
résultat suivant a été prouvé par Arthur ([22] théorème 1.1).
(1) Soit δ ∈ D
st
orb (M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ dont le support est formé d’éléments
fortement G-réguliers et soit f ∈ I(G(R)) ⊗ Mes(G(R)). Alors on a l’égalité
I
G
M (transfert(δ), f ) = I
G,E
M (M
, δ, f ).
Autrement dit, l’hypothèse (Hyp) de 2.6 est vérifiée. Rappelons qu’une variante du lemme 1.11 montre que cet énoncé s’étend aux éléments
δ ∈ D
st
g´ eom, ˜
G -équi
(M
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ .
V.3.2 Réalisation du programme de 2.4
Soient M un Levi de G et J ∈ J
G
M (B). En [II] 3.1, on a associé à J un groupe G J
contenant M comme Levi. On a dim(G J,SC ) ≤ dim(G SC ) et cette inégalité est
stricte si J n’est pas l’élément maximal. Soit γ ∈ D tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
On l’écrit
(1)
γ = γ orb +
i=1,...,n
transfert(δ i )