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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Alors la même démonstration que dans le paragraphe précédent s’applique et
notre programme est réalisé. Supposons maintenant G quasi-déployé. On n’a plus
besoin de l’hypothèse (Hyp) : elle est vérifiée d’après la proposition 1.13. Dans
un premier temps, les hypothèses de récurrence ne permettent de démontrer les
propriétés (5), (7) et (8) du paragraphe précédent que pour des données M
telles
que M
= M . Mais, dans la décomposition (1) de ce paragraphe, il n’apparaît
par définition que de telles données. La démonstration s’applique et démontre
l’existence d’applications vérifiant les propriétés (1), (2) et (3) de 2.4. On obtient
aussi les propriétés (4) à (7) de ce paragraphe.
Passons aux variantes stables des applications. Soit δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗
Mes(M (R))
∗ . Pour f ∈ I(G(R))⊗Mes(G(R)), on définit S
G
M (δ, B, f ) par la formule
habituelle 2.4(12). Pour J ∈ J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position générale et proche
de 1, on définit σ
G
J (δ, a) par la formule 2.4(13). On suppose
(2) pour tout J ∈ J
G
M (B), J = J max , σ
G
J (δ, a) appartient à
(D
st
unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st,G
unip .
La même preuve qu’en [II] 3.7 montre que le germe en 1 de la fonction
a → S
G
M (aδ, f )
est équivalent à
J∈J G
M (B)
I
G (σ
G
J (δ, a)
G , f ) +
L∈L(M),L =G
J∈J L
M (B)
S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ).
Supposons que f soit instable, c’est-à-dire que son image dans SI(G(R)) ⊗
Mes(G(R)) soit nulle. D’après le théorème 1.4, S
G
M (aδ, f ) = 0. Dans la somme cidessus, tous les termes sauf deux sont nuls, soit par hypothèse de récurrence (pour
L = M , L = G), soit d’après l’hypothèse (2) (pour les J ∈ J
G
M (B), J = J max ).
On obtient que le germe en 1 de
I
G (σ
G
Jmax (δ, a)
G , f ) + S
G
M (δ, B, f )
est équivalent à 0. Comme fonction de a, le premier terme appartient à U Jmax , le
second est constant. Le lemme 2.3 implique que ces deux termes sont nuls. Cela
étant vrai pour tout f instable, cela signifie que la distribution f → S
G
M (δ, B, f ) et
σ
G
Jmax (δ, a)
G sont stables. D’après le lemme [I] 5.13, cette dernière propriété équivaut à ce que σ
G
Jmax (δ, a) appartienne à (D
st
unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st,G
unip .
La propriété 2.4(8) résulte de la définition 2.4(13) par le même argument qui
nous a permis de prouver 2.4(4) dans le paragraphe précédent. La propriété 2.4(9)
résulte du calcul ci-dessus. Enfin, les propriétés 2.4(10) et 2.4(11) se prouvent
comme en [II] 1.14 (ii). Notons que ces trois dernières propriétés impliquent à
leur tour les propriétés (5), (7) et (8) du paragraphe précédent pour la donnée
M
= M, cas que l’on avait laissé en suspens. On a ainsi réalisé notre programme.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Alors la même démonstration que dans le paragraphe précédent s’applique et
notre programme est réalisé. Supposons maintenant G quasi-déployé. On n’a plus
besoin de l’hypothèse (Hyp) : elle est vérifiée d’après la proposition 1.13. Dans
un premier temps, les hypothèses de récurrence ne permettent de démontrer les
propriétés (5), (7) et (8) du paragraphe précédent que pour des données M
telles
que M
= M . Mais, dans la décomposition (1) de ce paragraphe, il n’apparaît
par définition que de telles données. La démonstration s’applique et démontre
l’existence d’applications vérifiant les propriétés (1), (2) et (3) de 2.4. On obtient
aussi les propriétés (4) à (7) de ce paragraphe.
Passons aux variantes stables des applications. Soit δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗
Mes(M (R))
∗ . Pour f ∈ I(G(R))⊗Mes(G(R)), on définit S
G
M (δ, B, f ) par la formule
habituelle 2.4(12). Pour J ∈ J
G
M (B) et a ∈ A M (R) en position générale et proche
de 1, on définit σ
G
J (δ, a) par la formule 2.4(13). On suppose
(2) pour tout J ∈ J
G
M (B), J = J max , σ
G
J (δ, a) appartient à
(D
st
unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st,G
unip .
La même preuve qu’en [II] 3.7 montre que le germe en 1 de la fonction
a → S
G
M (aδ, f )
est équivalent à
J∈J G
M (B)
I
G (σ
G
J (δ, a)
G , f ) +
L∈L(M),L =G
J∈J L
M (B)
S
G
L (σ
L
J (δ, a)
L , B, f ).
Supposons que f soit instable, c’est-à-dire que son image dans SI(G(R)) ⊗
Mes(G(R)) soit nulle. D’après le théorème 1.4, S
G
M (aδ, f ) = 0. Dans la somme cidessus, tous les termes sauf deux sont nuls, soit par hypothèse de récurrence (pour
L = M , L = G), soit d’après l’hypothèse (2) (pour les J ∈ J
G
M (B), J = J max ).
On obtient que le germe en 1 de
I
G (σ
G
Jmax (δ, a)
G , f ) + S
G
M (δ, B, f )
est équivalent à 0. Comme fonction de a, le premier terme appartient à U Jmax , le
second est constant. Le lemme 2.3 implique que ces deux termes sont nuls. Cela
étant vrai pour tout f instable, cela signifie que la distribution f → S
G
M (δ, B, f ) et
σ
G
Jmax (δ, a)
G sont stables. D’après le lemme [I] 5.13, cette dernière propriété équivaut à ce que σ
G
Jmax (δ, a) appartienne à (D
st
unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
st,G
unip .
La propriété 2.4(8) résulte de la définition 2.4(13) par le même argument qui
nous a permis de prouver 2.4(4) dans le paragraphe précédent. La propriété 2.4(9)
résulte du calcul ci-dessus. Enfin, les propriétés 2.4(10) et 2.4(11) se prouvent
comme en [II] 1.14 (ii). Notons que ces trois dernières propriétés impliquent à
leur tour les propriétés (5), (7) et (8) du paragraphe précédent pour la donnée
M
= M, cas que l’on avait laissé en suspens. On a ainsi réalisé notre programme.