V.2. Un nouvel espace de distributions
511
Par commutation du transfert à l’induction, on récrit le dernier terme
transfert
σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
G
(˜ s)
.
Par récurrence, on sait que le terme entre parenthèse appartient à
D
st
tr-orb (G
(˜ s), O
˜
G
(˜ s) ) ⊗ Mes(G
(˜ s; R))
∗ ,
avec une notation évidente. Son transfert appartient donc à
D tr-orb (O
K ˜
G , ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
Donc aussi ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G .
Pour démontrer les propriétés 2.4 (6) et (7), on peut de nouveau supposer soit
que γ ∈ D orb (O K ˜
R , ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ , soit qu’il existe R
, O
˜
R et δ comme plus
haut tels que γ = transfert(δ). Dans le premier cas, les propriétés se démontrent
comme dans le cas non-archimédien, cf. [II] 1.7 et [II] 3.10. Dans le second cas, elles
résultent de (7) et (8) ci-dessus. Cela réalise entièrement notre programme.
V.2.6 Réduction des conditions imposées dans le cas (C)
On considère le cas (C) de 2.4. Comme en [III] 1.1, on peut affaiblir nos hypothèses
de récurrence car il est clair qu’en partant de notre groupe non tordu, toutes nos
constructions ne font apparaître que de tels groupes. Nos hypothèses sont donc les
suivantes. Si G est quasi-déployé, on suppose toutes les assertions connues pour
des groupes quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si G n’est pas
quasi-déployé, on suppose toutes les assertions connues pour des groupes quasidéployés G
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et toutes les assertions connues pour
des groupes non-quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Pour une
assertion relative à un Levi M de G, on suppose toutes les assertions connues
pour le même groupe G et pour tout Levi L ∈ L(M ) avec L = M .
De nouveau, le problème posé en 2.4 est à peu près tautologique si M = G.
On suppose M = G.
L’ensemble J
G
M (B) a encore un élément maximal J max . On suppose
(1) pour tout J ∈ J
G
M (B), J = J max , il existe une application linéaire ρ
G
J vérifiant
les propriétés (1) et (3) de 2.4.
Si G n’est pas quasi-déployé, on impose une hypothèse similaire à celle du
paragraphe précédent, que l’on formule différemment. Soit M
= (M
, M
, ζ) une
donnée endoscopique elliptique et relevante de M . On suppose
(Hyp) pour tout δ ∈ D
st
orb (M
(R)) ⊗ Mes(M
(R))
∗ dont le support est formé d’éléments fortement G-réguliers et pour tout f ∈ I(G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a
l’égalité I
G,E
M (M
, δ, f ) = I
G
M (transfert(δ), f ).
511
Par commutation du transfert à l’induction, on récrit le dernier terme
transfert
σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
G
(˜ s)
.
Par récurrence, on sait que le terme entre parenthèse appartient à
D
st
tr-orb (G
(˜ s), O
˜
G
(˜ s) ) ⊗ Mes(G
(˜ s; R))
∗ ,
avec une notation évidente. Son transfert appartient donc à
D tr-orb (O
K ˜
G , ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ .
Donc aussi ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G .
Pour démontrer les propriétés 2.4 (6) et (7), on peut de nouveau supposer soit
que γ ∈ D orb (O K ˜
R , ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ , soit qu’il existe R
, O
˜
R et δ comme plus
haut tels que γ = transfert(δ). Dans le premier cas, les propriétés se démontrent
comme dans le cas non-archimédien, cf. [II] 1.7 et [II] 3.10. Dans le second cas, elles
résultent de (7) et (8) ci-dessus. Cela réalise entièrement notre programme.
V.2.6 Réduction des conditions imposées dans le cas (C)
On considère le cas (C) de 2.4. Comme en [III] 1.1, on peut affaiblir nos hypothèses
de récurrence car il est clair qu’en partant de notre groupe non tordu, toutes nos
constructions ne font apparaître que de tels groupes. Nos hypothèses sont donc les
suivantes. Si G est quasi-déployé, on suppose toutes les assertions connues pour
des groupes quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Si G n’est pas
quasi-déployé, on suppose toutes les assertions connues pour des groupes quasidéployés G
tels que dim(G
SC ) ≤ dim(G SC ) et toutes les assertions connues pour
des groupes non-quasi-déployés G
tels que dim(G
SC ) < dim(G SC ). Pour une
assertion relative à un Levi M de G, on suppose toutes les assertions connues
pour le même groupe G et pour tout Levi L ∈ L(M ) avec L = M .
De nouveau, le problème posé en 2.4 est à peu près tautologique si M = G.
On suppose M = G.
L’ensemble J
G
M (B) a encore un élément maximal J max . On suppose
(1) pour tout J ∈ J
G
M (B), J = J max , il existe une application linéaire ρ
G
J vérifiant
les propriétés (1) et (3) de 2.4.
Si G n’est pas quasi-déployé, on impose une hypothèse similaire à celle du
paragraphe précédent, que l’on formule différemment. Soit M
= (M
, M
, ζ) une
donnée endoscopique elliptique et relevante de M . On suppose
(Hyp) pour tout δ ∈ D
st
orb (M
(R)) ⊗ Mes(M
(R))
∗ dont le support est formé d’éléments fortement G-réguliers et pour tout f ∈ I(G(R)) ⊗ Mes(G(R)), on a
l’égalité I
G,E
M (M
, δ, f ) = I
G
M (transfert(δ), f ).