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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
comme en [II] 3.2. En effet, la preuve de cette référence s’applique. D’autre part,
pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, J = J max , l’hypothèse (4) assure la validité de l’égalité (3). Notons
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) le membre de droite de (2). Notons ρ
K ˜
G
Jmax
(γ, a) le membre de droite
de (3) pour J = J max . On obtient alors que le germe en 1 de la fonction qui à a
associe (9), est équivalent à celui de la fonction qui, à a, associe
(10)
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) + I
K ˜
G (ρ Jmax (γ, a)
K ˜
G , f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
,J =Jmax
I
K ˜
G (ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G , f )
+
K ˜
L∈L(K ˜
M),
K ˜
L =K ˜
M,K ˜
G
J∈J
˜
L
˜
M
I
K ˜
G
K ˜
L
(ρ
K ˜
L
J (γ, a)
K ˜
L , f ).
L’hypothèse (Hyp) assure que (9) est égal à I
K ˜
G
K ˜
M
(aγ, f ). Ce terme est indépendant
de la décomposition (1). Dans (10), tous les termes sauf deux sont aussi indépendants de cette décomposition. On obtient que le germe en 1 de la somme de ces
deux termes restants est indépendant de cette décomposition, à équivalence près.
Précisément, le germe en 1 de
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) + I
K ˜
G (ρ Jmax (γ, a)
K ˜
G , f )
est bien déterminé à équivalence près. Comme fonction de a, le premier terme
est constant, tandis que le second appartient à U Jmax . Le lemme 2.3 assure que
chaque terme est bien déterminé. Que le premier soit bien déterminé pour tout f
signifie que le membre de droite de (2) est indépendant de la décomposition (1).
Que le deuxième terme soit bien déterminé pour tout f signifie que ρ Jmax (γ, a)
K ˜
G
est bien déterminé, ou encore que ρ Jmax (γ, a) l’est, modulo Ann
K ˜
G
O . C’est-à-dire
que le membre de droite de (3) est indépendant de la décomposition (1). Comme
on l’a dit, cela assure l’existence de termes vérifiant les conditions (1), (2) et (3)
de 2.4. Ces termes étant maintenant bien définis, l’expression (10) n’est autre que
la somme figurant dans 2.4(5) et le calcul précédent prouve cette relation.
Pour vérifier 2.4(4), on peut supposer soit que γ ∈ D orb (O, ω)⊗Mes(M (R))
∗ ,
soit qu’il existe M
, O
et δ comme plus haut tels que γ = transfert(δ). Dans le premier cas, la propriété 2.4(4) est claire : on a même ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G
∈ D orb (O
K ˜
G , ω)⊗
Mes(G(R))
∗ . Dans le second cas, on applique la définition
ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G = ρ
K ˜
G,E
J
(M
, γ, a)
K ˜
G
=
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M ) Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G) Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O ),J →J
transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a)))
K ˜
G
.