V.2. Un nouvel espace de distributions
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D’après la définition de ρ
K ˜
L,E
J
(M
, δ, a), la somme en ˜
s et J
devient
I
K ˜
G
K ˜
L
(ρ
K ˜
L,E
J
(M
, δ, a)
K ˜
L , f ).
Puisque ρ
K ˜
L,E
J
(M
, δ, a) = ρ
K ˜
L
J (transfert(δ), a), la sous-somme indexée par K ˜
L de
la formule (6) est égale à celle de la formule (5). Considérons maintenant l’espace
de Levi K ˜
G. On a trivialement
I
K ˜
G,E
K ˜
G
(G
(˜ s), σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
G
(˜ s) , f ) = I
K ˜
G (transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
G
(˜ s) ), f )
= I
K ˜
G (transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a)))
K ˜
G , f ).
La somme en ˜
s et J
devient I
K ˜
G (ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
K ˜
G , f ) et, de nouveau, la soussomme indexée par K ˜
G dans la formule (6) coïncide avec la deuxième somme de
la formule (5). Enfin, pour K ˜
L = K ˜
M , la somme en J se réduit à l’unique terme
J = ∅, la somme en ˜
s se réduit à l’unique terme ˜
s = ˜
ζ. La sous-somme indexée par
K ˜
M dans la formule (6) coïncide avec le premier terme de la formule (5). Cela
démontre (5).
Conservons les données M
et O
. Soit ˜
R
un espace de Levi de ˜
M
. Soit O
˜
R
une classe de conjugaison stable dans ˜
R
(R), supposons que O
soit la classe de
conjugaison stable dans ˜
M
(R) qui la contient. Supposons ˜
R
relevant. On construit
comme en [I] 3.4 un K-espace de Levi K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M , de
sorte que ˜
R
soit l’espace d’une donnée endoscopique R
de (KR, K ˜
R, a) qui est
elliptique et relevante. Soit δ ∈ D
st
tr-orb (R
, O
˜
R ) ⊗ Mes(R
(R))
∗ . Alors
(7) pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ
M
, f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L,E
K ˜
R
(R
, δ, f K ˜
L,ω );
(8) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
et tout a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1,
on a l’égalité
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ
M
, a) =
K ˜
L∈L(K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M, ˜
L)ρ
K ˜
L,E
J
(R
, δ, a)
K ˜
M .
La preuve de ces propriétés est analogue à celle de la proposition [II] 1.14(i).
Considérons maintenant un élément γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Choisissons une décomposition (1). Etudions le germe en 1 de la fonction qui, à a,
associe
(9)
I
K ˜
G
K ˜
M
(aγ orb , f ) +
i=1,...,n
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , ξ i (a)δ i , f ).
On applique la propriété (5) à chaque terme de la somme en i. Le premier terme
I
K ˜
G
K ˜
M
(aγ orb , f ) satisfait la propriété 2.4(5), les termes ρ
K ˜
G
J (γ orb , a) étant définis