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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
L’ensemble J
˜
G
˜
M
admet un unique élément maximal, cf. [II] 3.1. C’est l’élément
J max tel que, pour α = {α 1 , . . . , α n } ∈ J max , le Z-module R Jmax engendré par les
α i contient toute racine de A K ˜
M (R) (c’est-à-dire toute racine de A ˜
Mp (R) dans
g p (R), pour un quelconque p ∈ Π
M ). Supposons
(4) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
, J = J max , il existe une application linéaire ρ
K ˜
G
J
vérifiant
les propriétés (1) et (3) de 2.4.
Comme on vient de le montrer, cette application est uniquement déterminée.
On va montrer qu’en admettant cette propriété (4), et sous l’hypothèse (Hyp), on
peut réaliser le programme de 2.4. Considérons une donnée endoscopique M
=
(M
, M
, ˜
ζ) de (KM, K ˜
M, a), elliptique et relevante. Considérons une classe de
conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
M
(R) qui correspond à O. Soient δ ∈
D
st
tr-orb (O
) ⊗ Mes(M
(R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)). Montrons que
(5) le germe en 1 de la fonction
a → I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, aδ, f ),
qui est définie pour a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1, est
équivalent à
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) +
J∈J
˜
G
˜
M
I
K ˜
G (ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
K ˜
G , f )
+
K ˜
L∈L(K ˜
M),
K ˜
L =K ˜
M,K ˜
G
J∈J
˜
L
˜
M
I
K ˜
G
K ˜
L
(ρ
K ˜
L
J (transfert(δ), a)
K ˜
L , f ).
Preuve. On reprend la preuve de la proposition [II] 3.9. Elle montre que le germe
en 1 de la fonction a → I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, aδ, f ) est équivalent à celui de la fonction qui,
à a, associe
(6)
K ˜
L∈L( ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
L)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
L, ˜
L
(˜ s))
J ∈J
˜
L (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O ),J →J
I
K ˜
G,E
K ˜
L
(L
(˜ s), σ
L
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
L
(˜ s) , f ).
Considérons un K ˜
L tel que K ˜
L = K ˜
M , K ˜
L = K ˜
G. Alors on connaît par récurrence les propriétés de tous les termes. En particulier
I
K ˜
G,E
K ˜
L
(L
(˜ s), σ
L
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
L
(˜ s) , f ) = I
K ˜
G
K ˜
L
(transfert(σ
L
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))
L
(˜ s) ), f )
= I
K ˜
G
K ˜
L
(transfert(σ
L
(˜ s)
J
(δ, ξ(a)))
K ˜
L , f ).