V.2. Un nouvel espace de distributions
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V.2.5 Réduction des conditions imposées dans le cas (A)
Considérons le cas (A) du paragraphe précédent. Dans le cas où K ˜
M = K ˜
G, on
voit que notre problème admet une solution unique. Pour γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗
Mes(G(R))
∗ et f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a I
K ˜
G
K ˜
G
(γ, f ) = I
K ˜
G (γ, f ). L’ensemble J
˜
G
˜
G
est réduit à l’élément vide. L’application ρ
K ˜
G
∅
est l’identité, modulo
l’identification U ∅ = C. On suppose désormais K ˜
M = K ˜
G.
On impose l’hypothèse suivante :
(Hyp). Pour tout γ ∈ D orb (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ dont le support est formé
d’éléments fortement ˜
G-réguliers et pour tout
f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)),
on a l’égalité I
K ˜
G,E
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ).
D’après le lemme 1.11, cette hypothèse implique que la même égalité vaut
sous l’hypothèse plus faible γ ∈ D g´ eom, ˜
G -équi (K ˜
M (R), ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Soit γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ . Par définition, il existe
– γ orb ∈ D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ ,
– une famille finie de données endoscopiques (M
i ) i=1,...,n de (M, ˜
M , a M ), elliptiques et relevantes ;
– pour tout i = 1, . . . , n, une classe de conjugaison stable semi-simple O
i dans
˜
M
i (R) correspondant à O et un élément δ i ∈ D
st
tr-orb (M
i , O
i )⊗Mes(M
(R))
∗ ,
de sorte que
(1)
γ = γ orb +
i=1,...,n
transfert(δ i ).
Cette décomposition n’est toutefois pas uniquement déterminée.
Les conditions (1), (2), (3) de 2.4 imposent les égalités
(2)
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ) = I
K ˜
G
K ˜
M
(γ orb , f ) +
i=1,...,n
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
i , δ i , f )
pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) et
(3)
ρ
K ˜
G
J (γ, a) = ρ
K ˜
G
J (γ orb , a) +
i=1,...,n
ρ
K ˜
G,E
J
(M
i , δ i , a)
pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
et tout a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1.
L’assertion d’existence d’applications vérifiant les propriétés (1), (2) et (3) de 2.4
revient à dire que les membres de droite de (2) et (3) ci-dessus ne dépendent pas
de la décomposition (1).