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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
(8) pour tout δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ , tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ) et tout a ∈
A M (R) en position générale et proche de 1, la distribution induite σ
˜
G
J (δ, a)
˜
G
appartient à D
st
tr-orb (O
˜
G ) ⊗ Mes(G(R))
∗ ;
(9) pour tout δ ∈ D
st
tr-orb (O)⊗Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ SI( ˜
G(R), ω)⊗Mes(G(R)),
le germe en 1 de la fonction a → S
˜
G
˜
M
(aδ, f ), qui est définie pour a ∈ A M (R)
en position générale et proche de 1, est équivalent à
˜
L∈L( ˜
M )
J∈J
˜
L
˜
M
(BO)
S
˜
G
˜
L
(σ
˜
L
J (δ, a)
˜
L , B, f ).
Soit ˜
R un espace de Levi tel que ˜
R ⊂ ˜
M . Soit O ˜
R une classe de conjugaison
stable semi-simple dans ˜
R(R), supposons que O soit la classe de conjugaison stable
dans ˜
M (R) qui la contient. Soit δ ∈ D
st
tr-orb (O ˜
R ) ⊗ Mes(R(R))
∗ . On impose
(10) pour tout f ∈ S( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ
˜
M , B, f ) =
˜
L∈L( ˜
R)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)S
˜
L
˜
R
(δ, B, f ˜
L );
(11) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ) et tout a ∈ A M (R) en position générale et proche de
1, on a l’égalité
σ
˜
G
J (δ
˜
M , a) =
˜
L∈L( ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
(BO ˜
R
)
e
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)σ
˜
L
J (δ, a)
˜
M .
On veut aussi que les applications stables soient déduites des non-stables par
les formules habituelles. C’est-à-dire que, soit δ ∈ D
st
tr-orb (O) ⊗ Mes(M (R))
∗ . On
impose
(12) pour tout f ∈ I( ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
S
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) = I
˜
G
˜
M
(δ, B, f ) −
s∈Z( ˆ
M)
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))S
G
(s)
M
(δ, B, f
G
(s) );
(13) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
(B O ) et tout a ∈ A M (R) en position générale et proche de
1, on a l’égalité
σ
˜
G
J (δ, a) = ρ
˜
G
J (δ, a) −
s∈Z( ˆ
M )
Γ R /Z( ˆ
G)
Γ R ,
s =1,J∈J
˜
G (s)
˜
M
(BO)
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(s))σ
˜
G
񐡾 (s)
J
(δ, a).
Ce programme sera réalisé inconditionnellement dans les cas (B) et (C) dans
les sections 3 et 4. Dans le cas (A), il sera réalisé dans la section 5 sous une
hypothèse qui sera expliquée dans le paragraphe suivant.