V.2. Un nouvel espace de distributions
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(3) on a l’égalité
ρ
K ˜
G
J (transfert(δ), a) = ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a)
pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
et tout a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1.
On impose
(4) pour tout γ ∈ D tr-orb (O, ω)⊗Mes(M (R))
∗ , tout J ∈ J
˜
G
˜
M
et tout a ∈ A K ˜
M (R)
en position générale et proche de 1, la distribution induite ρ
K ˜
G
J (γ, a)
K ˜
G appartient à D tr-orb (O
K ˜
G , ω) ⊗ Mes(G(R))
∗ ;
(5) pour tout γ ∈ D tr-orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ et tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗
Mes(G(R)), le germe en 1 de la fonction a → I
K ˜
G
K ˜
M
(aγ, f ), qui est définie
pour a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1, est équivalent à
K ˜
L∈L(K ˜
M)
J∈J
˜
L
˜
M
I
K ˜
G
K ˜
L
(ρ
K ˜
L
J (γ, a)
K ˜
L , f ).
Notons que aγ est ˜
G-équisingulier, donc I
K ˜
G
K ˜
M
(aγ, f ) est défini d’après 1.3.
D’autre part, d’après (4), les termes I
K ˜
G
K ˜
L
(ρ
K ˜
L
J (γ, a)
K ˜
L , f ) sont définis (ou plus
exactement, le seront quand notre programme sera rempli).
Nos termes doivent vérifier les propriétes habituelles de compatibilité à l’induction. Soit K ˜
R ∈ L(K ˜
M 0 ) tel que K ˜
R ⊂ K ˜
M . Soit O K ˜
R une classe de conjugaison stable semi-simple dans K ˜
R(R), supposons que O soit la classe de conjugaison
stable dans K ˜
M (R) qui la contient. Soit γ ∈ D tr-orb (O K ˜
R , ω) ⊗ Mes(R(R))
∗ . On
impose
(6) pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), on a l’égalité
I
K ˜
G
K ˜
M
(γ
K ˜
M , f ) =
K ˜
L∈L(K ˜
R)
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)I
K ˜
L
K ˜
R
(γ, f K ˜
L,ω );
(7) pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
et tout a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1,
on a l’égalité
ρ
K ˜
G
J (γ
K ˜
M , a) =
K ˜
L∈L(K ˜
R),J∈J
˜
L
˜
R
d
˜
G
˜
R
( ˜
M , ˜
L)ρ
K ˜
L
J (γ, a)
K ˜
M ,
cf. [II] 3.10.
Les propriétés (4) à (7) ont des analogues dans les cas (B) et (C), qui n’en
diffèrent que par la notation. Dans le cas (B) et dans le cas (C) avec G quasidéployé, on a des propriétés similaires pour les termes stables. Ecrivons-les dans
le cas (B). On impose