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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
– pour tout δ ∈ D
st
tr-unip (M (R)) ⊗ Mes(M (R))
∗ , une application linéaire f →
S
G
M (δ, B, f ) sur SI(G(R)) ⊗ Mes(G(R)).
Dans le cas (A), considérons une donnée endoscopique M
= (M
, M
, ˜
ζ)
de (KM, K ˜
M, a), elliptique et relevante. Considérons une classe de conjugaison
stable semi-simple O
dans ˜
M
(R) qui correspond à O. Soient δ ∈ D
st
tr-orb (O
) ⊗
Mes(M
(R))
∗ et a ∈ A K ˜
M (R) en position générale et proche de 1. Nos hypothèses
de récurrence et quelques formalités que nous passerons nous autorisent à définir
– pour J ∈ J
˜
G
˜
M
, le terme
ρ
K ˜
G,E
J
(M
, δ, a) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))
J ∈J
˜
G (˜ s)
˜
M
(B
˜
G
O );J →J
transfert(σ
G
(˜ s)
J
(δ, ξ(a))),
cf. [II] 3.8 ; c’est la valeur en a d’un élément de
U J ⊗ (D g´ eom (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O .
– pour f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)), l’intégrale endoscopique
I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f ) =
˜
s∈ ˜
ζZ( ˆ
M )
Γ R , ˆ
θ /Z( ˆ
G)
Γ R , ˆ
θ
i ˜
M ( ˜
G, ˜
G
(˜ s))S
G
(˜ s)
M (δ, B
˜
G , f
G
(˜ s) ).
Il y a des variantes de ces définitions dans les cas (B) et (C). Les notations
doivent être adaptées de façon évidente. L’unique différence est que, dans le cas (B)
et dans le cas (C) avec G quasi-déployé, les hypothèses de récurrence ne permettent
de définir ces termes que si M
= M .
Venons-en aux conditions imposées aux applications que l’on se propose de
définir. Considérons le cas (A). Pour γ ∈ D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ on a déjà
défini en 1.3 une application linéaire f → I
K ˜
G
K ˜
M
(γ, f ). D’autre part, les définitions
du cas non-archimédien de [II] 3.4 s’appliquent et fournissent pour tout J ∈ J
˜
G
˜
M
un élément
ρ
K ˜
G
J (γ) ∈ U J ⊗ (D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ )/ Ann
K ˜
G
O
On impose
(1) les définitions coïncident pour γ ∈ D orb (O, ω) ⊗ Mes(M (R))
∗ .
Pour M
, O
, δ comme ci-dessus, on impose
(2) on a l’égalité
I
K ˜
G
K ˜
M
(transfert(δ), f ) = I
K ˜
G,E
K ˜
M
(M
, δ, f )
pour tout f ∈ I(K ˜
G(R), ω) ⊗ Mes(G(R)) ;