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Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Alors les fonctions t → f
1 (H + tt) et t → f 2 (H + tt) se prolongent en des
fonctions analytiques en t au voisinage de t = 0. De plus
(5)
log(bt)f
1 (H + tt) + f 2 (H + tt) − d = f (H + tt) − d = 0
d’après l’hypothèse et (3). Si f
1 (H + tt) n’est pas identiquement nul, on en déduit
log(bt) =
d − f 2 (H + tt)
f
1 (H + tt)
,
et log(bt) se prolonge en une fonction méromorphe au voisinage de t = 0. C’est
impossible. Donc f
1 (H +tt) est identiquement nul. D’après (5), on a aussi f 2 (H +
tt) = d. Cela est vrai pour H ∈ U et t ∈]0, ,[. Donc f 2 (H) = d pour H dans un
ouvert non vide de a ˜
M (R). La fonction f 2 est du même type que f . Il lui est associé
un ensemble fini de cônes dans lesquels elle est analytique. L’assertion précédente
entraîne que f 2 (H) = d pour H dans l’un de ces cônes. Le nombre d’éléments de
J 2 (f ) est compris entre 1 et N − 1. L’hypothèse de récurrence dit que ces deux
propriétés sont contradictoires. Cela achève la preuve de (2).
Achevons la preuve du lemme. Les deux assertions (1) et (2) entraînent que
les coefficients c α de v sont nuls. Donc la fonction u initiale est nulle et alors aussi
la constante c.
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8.
On a défini dans cette référence l’ensemble Σ(A M , B). On en déduit en ensemble
J
G
M (B) similaire au J
˜
G
˜
M
précédent. Le lemme reste valable pour cet ensemble.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. Pour un élément semi-simple η ∈ ˜
M (R),
on a défini dans cette référence l’ensemble Σ(A M , B η ). On en déduit un ensemble
J
˜
G
˜
M
(B η ) pour lequel le lemme reste valable.
V.2.4 Programme d’extension des définitions
On considère les trois situations suivantes.
(A) On se donne un K-triplet (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 )
et une classe de conjugaison stable semi-simple O dans K ˜
M (R). On note
O
K ˜
G la classe de conjugaison stable dans K ˜
G(R) qui la contient.
(B) On se donne un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un
espace de Levi ˜
M de ˜
G et une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
M (R). On note O
˜
G la classe de conjugaison stable dans ˜
G(R) qui la
contient. On fixe un système de fonctions B sur ˜
G(R) comme en [II] 1.9.
(C) On se donne un groupe G, un Levi M de G et une fonction B sur G(R)
comme en [II] 1.8. On considère la classe de conjugaison stable dans M (R)
réduite à {1}.
Chapitre V. Intégrales orbitales sur le corps réel
Alors les fonctions t → f
1 (H + tt) et t → f 2 (H + tt) se prolongent en des
fonctions analytiques en t au voisinage de t = 0. De plus
(5)
log(bt)f
1 (H + tt) + f 2 (H + tt) − d = f (H + tt) − d = 0
d’après l’hypothèse et (3). Si f
1 (H + tt) n’est pas identiquement nul, on en déduit
log(bt) =
d − f 2 (H + tt)
f
1 (H + tt)
,
et log(bt) se prolonge en une fonction méromorphe au voisinage de t = 0. C’est
impossible. Donc f
1 (H +tt) est identiquement nul. D’après (5), on a aussi f 2 (H +
tt) = d. Cela est vrai pour H ∈ U et t ∈]0, ,[. Donc f 2 (H) = d pour H dans un
ouvert non vide de a ˜
M (R). La fonction f 2 est du même type que f . Il lui est associé
un ensemble fini de cônes dans lesquels elle est analytique. L’assertion précédente
entraîne que f 2 (H) = d pour H dans l’un de ces cônes. Le nombre d’éléments de
J 2 (f ) est compris entre 1 et N − 1. L’hypothèse de récurrence dit que ces deux
propriétés sont contradictoires. Cela achève la preuve de (2).
Achevons la preuve du lemme. Les deux assertions (1) et (2) entraînent que
les coefficients c α de v sont nuls. Donc la fonction u initiale est nulle et alors aussi
la constante c.
Variante. Supposons G = ˜
G et a = 1. On fixe une fonction B comme en [II] 1.8.
On a défini dans cette référence l’ensemble Σ(A M , B). On en déduit en ensemble
J
G
M (B) similaire au J
˜
G
˜
M
précédent. Le lemme reste valable pour cet ensemble.
Variante. Supposons (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure. Fixons un
système de fonctions B comme en [II] 1.9. Pour un élément semi-simple η ∈ ˜
M (R),
on a défini dans cette référence l’ensemble Σ(A M , B η ). On en déduit un ensemble
J
˜
G
˜
M
(B η ) pour lequel le lemme reste valable.
V.2.4 Programme d’extension des définitions
On considère les trois situations suivantes.
(A) On se donne un K-triplet (KG, K ˜
G, a), un K-espace de Levi K ˜
M ∈ L(K ˜
M 0 )
et une classe de conjugaison stable semi-simple O dans K ˜
M (R). On note
O
K ˜
G la classe de conjugaison stable dans K ˜
G(R) qui la contient.
(B) On se donne un triplet (G, ˜
G, a) quasi-déployé et à torsion intérieure, un
espace de Levi ˜
M de ˜
G et une classe de conjugaison stable semi-simple O
dans ˜
M (R). On note O
˜
G la classe de conjugaison stable dans ˜
G(R) qui la
contient. On fixe un système de fonctions B sur ˜
G(R) comme en [II] 1.9.
(C) On se donne un groupe G, un Levi M de G et une fonction B sur G(R)
comme en [II] 1.8. On considère la classe de conjugaison stable dans M (R)
réduite à {1}.